Um dado é lançado 6 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 3?

Para calcular a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 3 ao lançar um dado 6 vezes, podemos usar a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (6), - \( k \) é o número de sucessos desejados (2), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (probabilidade de sair 3, que é \( \frac{1}{6} \)), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. 1. Calcule \( \binom{6}{2} \): \[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] 2. Calcule \( p^k \): \[ p^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \] 3. Calcule \( (1-p)^{n-k} \): \[ (1-p)^{4} = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{625}{1296} \] 4. Agora, substitua na fórmula: \[ P(X = 2) = 15 \times \frac{1}{36} \times \frac{625}{1296} \] 5. Calcule: \[ P(X = 2) = 15 \times \frac{625}{46656} = \frac{9375}{46656} \] Portanto, a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 3 ao lançar um dado 6 vezes é \( \frac{9375}{46656} \) ou aproximadamente 0,2005 (20,05%).