Para determinar se a função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \) possui raízes reais e a natureza dessas raízes, podemos começar analisando a função. 1. Identificação da função: A função é um polinômio de quarto grau. Polinômios de grau par podem ter 0, 2 ou 4 raízes reais. 2. Fatoração: Observando a função, podemos tentar reescrevê-la. Note que: \[ f(x) = (x-1)^4 \] Isso pode ser verificado expandindo \( (x-1)^4 \). 3. Raízes: A equação \( (x-1)^4 = 0 \) tem uma raiz real em \( x = 1 \), que é uma raiz de multiplicidade 4. 4. Natureza das raízes: Como a raiz é de multiplicidade 4, ela é uma raiz real, mas não muda de sinal (ou seja, a função toca o eixo x em \( x = 1 \) e não o cruza). Portanto, a função possui 1 raiz real (com multiplicidade 4). A alternativa correta é: B) 1 raiz real.