Vamos analisar a função \( f(x) = \tan^{-1}(x) \) e sua derivada. A derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x) \) é dada por: \[ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \] Agora, sobre o comportamento da função em relação a assintotas: 1. Assintotas verticais: A função \( \tan^{-1}(x) \) não possui assintotas verticais, pois está definida para todos os valores de \( x \). 2. Assintotas horizontais: A função \( \tan^{-1}(x) \) possui assintotas horizontais em \( y = \frac{\pi}{2} \) quando \( x \to +\infty \) e \( y = -\frac{\pi}{2} \) quando \( x \to -\infty \). Agora, analisando as alternativas: A) \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) e possui assintotas verticais - Incorreta (não possui assintotas verticais). B) \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) e possui assintotas horizontais - Correta (possui assintotas horizontais). C) \( f'(x) = \frac{1}{x^2} \) e não possui assintotas - Incorreta (a derivada está errada e a função possui assintotas horizontais). D) \( f'(x) = x^2 \) e possui assintotas verticais - Incorreta (a derivada está errada e não possui assintotas verticais). Portanto, a alternativa correta é: B) \( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \) e possui assintotas horizontais.