Para entender o que é uma base para uma topologia em um espaço \(X\), precisamos lembrar que uma base é um conjunto de conjuntos abertos que pode ser usado para gerar a topologia do espaço. Analisando as alternativas: a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\) - Esta opção está correta, pois uma base para uma topologia deve ser composta por conjuntos abertos que, em união, cobrem o espaço \(X\). b) Um conjunto de conjuntos fechados que contém todos os pontos limites - Esta opção não é correta, pois uma base é formada por conjuntos abertos, não fechados. c) Um conjunto de conjuntos que é denso em \(X\) - Embora a densidade possa ser uma propriedade interessante, não define o que é uma base para uma topologia. d) Um conjunto de conjuntos que é compacto - A compacidade é uma propriedade diferente e não se relaciona diretamente com a definição de uma base para uma topologia. Portanto, a alternativa correta é: a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\).