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Se \(A\) e \(B\) são subconjuntos de um espaço topológico \(X\), qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a união \(A \cup B\)?
a) A união de dois conjuntos fechados é aberta.
b) A união de dois conjuntos abertos é sempre aberta.
c) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada.
d) A união de um conjunto aberto e um fechado é sempre densa.

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Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar qual é a verdadeira sobre a união \(A \cup B\) em um espaço topológico \(X\): a) A união de dois conjuntos fechados é aberta. Falsa. A união de dois conjuntos fechados não é necessariamente aberta. b) A união de dois conjuntos abertos é sempre aberta. Verdadeira. A união de dois conjuntos abertos em um espaço topológico é sempre um conjunto aberto. c) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada. Falsa. A união de dois conjuntos fechados não é necessariamente fechada em um espaço topológico. d) A união de um conjunto aberto e um fechado é sempre densa. Falsa. A união de um conjunto aberto e um fechado não garante que o resultado seja denso. Portanto, a alternativa correta é: b) A união de dois conjuntos abertos é sempre aberta.

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Se \(X\) é um espaço topológico e \(A \subseteq X\) é um conjunto fechado, qual das seguintes afirmacoes é verdadeira?
a) O complemento de \(A\) em \(X\) é aberto.
b) A interseção de \(A\) com um conjunto aberto é sempre não vazia.
c) A união de \(A\) com um conjunto aberto é fechado.
d) \(A\) deve ser compacto.

O que é uma base para uma topologia em um espaço \(X\)?
a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\).
b) Um conjunto de conjuntos fechados que contém todos os pontos limites.
c) Um conjunto de conjuntos que é denso em \(X\).
d) Um conjunto de conjuntos que é compacto.

Se \(X\) é um espaço topológico e \(Y\) é um subconjunto de \(X\), como podemos definir a topologia induzida em \(Y\)?
a) A interseção de \(Y\) com conjuntos abertos de \(X\).
b) A união de \(Y\) com conjuntos fechados de \(X\).
c) A interseção de \(Y\) com conjuntos fechados de \(X\).
d) A união de \(Y\) com conjuntos abertos de \(X\).

O que caracteriza um espaço topológico como sendo separável?
a) O espaço possui uma base numerável de conjuntos abertos.
b) O espaço é compacto.
c) O espaço é totalmente desconexo.
d) O espaço é conexo.

Se \(X\) é um espaço topológico e \(A \subseteq X\) é um conjunto não vazio, qual das seguintes afirmações pode ser verdadeira?
a) \(A\) é denso se e somente se a interseção de \(A\) com um conjunto fechado é vazia.
b) \(A\) é sempre compacto.
c) \(A\) é sempre aberto.
d) A interseção de \(A\) com um conjunto aberto é não vazia.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo paracompacto?
a) Todo conjunto é compacto.
b) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura finita.
c) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura localmente finita.
d) O espaço é Hausdorff.

Se um espaço \(X\) é conexo, o que podemos dizer sobre a união de dois subconjuntos não vazios \(A\) e \(B\) que são disjuntos?
a) \(A\) e \(B\) devem ser fechados.
b) \(A \cup B\) é conexo se e somente se \(A\) ou \(B\) não estão vazios.
c) Se \(A\) e \(B\) são disjuntos, então \(A \cup B\) é desconexo.
d) \(A \cup B\) é sempre conexo.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo contável?
a) O espaço é compacto.
b) O espaço tem uma base numerável.
c) O espaço é finito ou tem uma coleção numerável de pontos.
d) O espaço é sempre conexo.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia de um espaço \(X\)?
a) A interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta.
b) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada.
c) Todo conjunto fechado é também aberto.
d) A topologia é sempre discreta.

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O que é uma base para uma topologia em um espaço \(X\)?a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\).b) Um conjunto de conjuntos fechados que contém todos os pontos limites.c) Um conjunto de conjuntos que é denso em \(X\).d) Um conjunto de conjuntos que é compacto.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo separável?a) O espaço possui uma base numerável de conjuntos abertos.b) O espaço é compacto.c) O espaço é totalmente desconexo.d) O espaço é conexo.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo paracompacto?a) Todo conjunto é compacto.b) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura finita.c) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura localmente finita.d) O espaço é Hausdorff.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo contável?a) O espaço é compacto.b) O espaço tem uma base numerável.c) O espaço é finito ou tem uma coleção numerável de pontos.d) O espaço é sempre conexo.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia de um espaço \(X\)?a) A interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta.b) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada.c) Todo conjunto fechado é também aberto.d) A topologia é sempre discreta.

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O que é uma base para uma topologia em um espaço \(X\)?
a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\).
b) Um conjunto de conjuntos fechados que contém todos os pontos limites.
c) Um conjunto de conjuntos que é denso em \(X\).
d) Um conjunto de conjuntos que é compacto.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo separável?
a) O espaço possui uma base numerável de conjuntos abertos.
b) O espaço é compacto.
c) O espaço é totalmente desconexo.
d) O espaço é conexo.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo paracompacto?
a) Todo conjunto é compacto.
b) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura finita.
c) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura localmente finita.
d) O espaço é Hausdorff.

O que caracteriza um espaço topológico como sendo contável?
a) O espaço é compacto.
b) O espaço tem uma base numerável.
c) O espaço é finito ou tem uma coleção numerável de pontos.
d) O espaço é sempre conexo.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia de um espaço \(X\)?
a) A interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta.
b) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada.
c) Todo conjunto fechado é também aberto.
d) A topologia é sempre discreta.