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40. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A \subseteq X\) é um conjunto fechado, qual das 
seguintes afirmações é verdadeira? 
a) O complemento de \(A\) em \(X\) é aberto. 
b) A interseção de \(A\) com um conjunto aberto é sempre não vazia. 
c) A união de \(A\) com um conjunto aberto é fechado. 
d) \(A\) deve ser compacto. 
Resposta: a) O complemento de \(A\) em \(X\) é aberto. 
Explicação: Por definição, um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto. 
 
41. O que é uma base para uma topologia em um espaço \(X\)? 
a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\). 
b) Um conjunto de conjuntos fechados que contém todos os pontos limites. 
c) Um conjunto de conjuntos que é denso em \(X\). 
d) Um conjunto de conjuntos que é compacto. 
Resposta: a) Um conjunto de conjuntos abertos que cobre \(X\). 
Explicação: Uma base é uma coleção de conjuntos abertos tal que qualquer conjunto 
aberto pode ser escrito como uma união de elementos da base. 
 
42. Se \(X\) é um espaço topológico e \(Y\) é um subconjunto de \(X\), como podemos 
definir a topologia induzida em \(Y\)? 
a) A interseção de \(Y\) com conjuntos abertos de \(X\). 
b) A união de \(Y\) com conjuntos fechados de \(X\). 
c) A interseção de \(Y\) com conjuntos fechados de \(X\). 
d) A união de \(Y\) com conjuntos abertos de \(X\). 
Resposta: a) A interseção de \(Y\) com conjuntos abertos de \(X\). 
Explicação: A topologia induzida em um subconjunto é definida pelas interseções com os 
conjuntos abertos do espaço maior. 
 
43. O que caracteriza um espaço topológico como sendo separável? 
a) O espaço é compacto. 
b) O espaço possui uma base numerável de conjuntos abertos. 
c) O espaço é totalmente desconexo. 
d) O espaço é conexo. 
Resposta: b) O espaço possui uma base numerável de conjuntos abertos. 
Explicação: Um espaço separável tem a propriedade de que pode ser coberto por uma 
coleção numerável de conjuntos abertos. 
 
44. Se \(A\) e \(B\) são subconjuntos de um espaço topológico \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a união \(A \cup B\)? 
a) A união de dois conjuntos fechados é aberta. 
b) A união de dois conjuntos abertos é sempre aberta. 
c) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada. 
d) A união de um conjunto aberto e um fechado é sempre densa. 
Resposta: b) A união de dois conjuntos abertos é sempre aberta. 
Explicação: A definição de conjuntos abertos implica que a união de abertos é um 
conjunto aberto. 
 
45. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A \subseteq X\) é um conjunto não vazio, qual das 
seguintes afirmações pode ser verdadeira? 
a) \(A\) é denso se e somente se a interseção de \(A\) com um conjunto fechado é vazia. 
b) \(A\) é sempre compacto. 
c) \(A\) é sempre aberto. 
d) A interseção de \(A\) com um conjunto aberto é não vazia. 
Resposta: d) A interseção de \(A\) com um conjunto aberto é não vazia. 
Explicação: Um conjunto denso tem a propriedade de que intersecta todos os conjuntos 
abertos. 
 
46. O que caracteriza um espaço topológico como sendo paracompacto? 
a) Todo conjunto é compacto. 
b) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura finita. 
c) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura localmente finita. 
d) O espaço é Hausdorff. 
Resposta: c) Cada cobertura aberta possui uma subcobertura localmente finita. 
Explicação: Um espaço paracompacto é aquele onde qualquer coleção de conjuntos 
abertos que cobre o espaço pode ser refinada em uma coleção localmente finita. 
 
47. Se um espaço \(X\) é conexo, o que podemos dizer sobre a união de dois subconjuntos 
não vazios \(A\) e \(B\) que são disjuntos? 
a) \(A\) e \(B\) devem ser fechados. 
b) \(A \cup B\) é conexo se e somente se \(A\) ou \(B\) não estão vazios. 
c) Se \(A\) e \(B\) são disjuntos, então \(A \cup B\) é desconexo. 
d) \(A \cup B\) é sempre conexo. 
Resposta: c) Se \(A\) e \(B\) são disjuntos, então \(A \cup B\) é desconexo. 
Explicação: A união de dois conjuntos disjuntos não pode ser conexa. 
 
48. O que caracteriza um espaço topológico como sendo contável? 
a) O espaço é compacto. 
b) O espaço tem uma base numerável. 
c) O espaço é finito ou tem uma coleção numerável de pontos. 
d) O espaço é sempre conexo. 
Resposta: c) O espaço é finito ou tem uma coleção numerável de pontos. 
Explicação: Um espaço contável possui uma quantidade de pontos que pode ser 
enumerada por números naturais. 
 
49. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia de um espaço \(X\)? 
a) A interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta. 
b) A união de dois conjuntos fechados é sempre fechada. 
c) Todo conjunto fechado é também aberto. 
d) A topologia é sempre discreta. 
Resposta: a) A interseção de dois conjuntos abertos é sempre aberta. 
Explicação: A definição de topologia garante que a interseção de conjuntos abertos é um 
conjunto aberto. 
 
50. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto não vazio, o que podemos 
afirmar sobre a clausura de \(A\)? 
a) A clausura de \(A\) é sempre finita.