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Derivação por definição

Use a definiçao da derivada para demonstrar , que se f é diferenciavel em um intervalo (a,b) entao dado c pertencente a (a,b) temos f '(x)= kim x->c f(x)-f(c)/x-c .  

Essa definiçao alternativa da derivada é usada em algumas demonstraçoes.


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Quando hseta0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:

eq

desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto.

Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

eq

A derivada de f(x)=x³ no ponto genérico x=c, é dada por:

A derivada de f(x)=x³ é denotada por f '(x)=3x², pois

A reta normal a uma curva y=f(x) em um ponto P=(c,f(c)), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k' e k", são perpendiculares, se k'k"=-1, então, se k'=f '(c), o coeficiente angular da reta normal será:

\(k" = -1/f '(c)\)

e a reta normal será dada por

\(y = f(c) - (x-c)/f '(c)\)

 

Quando hseta0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:

eq

desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto.

Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

eq

A derivada de f(x)=x³ no ponto genérico x=c, é dada por:

A derivada de f(x)=x³ é denotada por f '(x)=3x², pois

A reta normal a uma curva y=f(x) em um ponto P=(c,f(c)), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k' e k", são perpendiculares, se k'k"=-1, então, se k'=f '(c), o coeficiente angular da reta normal será:

\(k" = -1/f '(c)\)

e a reta normal será dada por

\(y = f(c) - (x-c)/f '(c)\)

 

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Gabriel

Há mais de um mês

Certo, a definição da derivada é dada pelo limite:

  lim    f(x)-f(x0)/x-x0 
x->x0

Esse limite já está no enunciado, então, não sei muito bem o que ele está querendo com esta pergunta. Sendo assim, podemos tentar provar que é verdadeiro dando valor para as variáveis.

f(x)=x²
f'(x)=2x

a=1
b=3
c=2

f'(x)=4.

Agora vamos fazer o limite e ver se procede.

  lim    f(x)-f(c)/x-c = x²-c²/x-c
 x->c 

Para resolver este limite precisamos fatorar x²-c²/x-c:

  lim    (x+c)(x-c)/x-c = (x+c) [cortamos o denominador com o (x-c)]
 x->c 

Lembrando que no nosso exemplo c = 2,

lim    (2+2) = 4
x->2

Portanto:
f'(c)=4 

Como queríamos demonstrar.

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Nadja

Há mais de um mês

Ajudou mt , Brigaduh ''

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas