Para encontrar a equação da circunferência de centro P(3, 1) que é tangente à reta \( r: 3x + 4y + 7 = 0 \), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar a distância do centro da circunferência à reta: A distância \( d \) de um ponto \( (x_0, y_0) \) à reta \( Ax + By + C = 0 \) é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Para a reta \( 3x + 4y + 7 = 0 \) (onde \( A = 3, B = 4, C = 7 \)) e o ponto \( P(3, 1) \): \[ d = \frac{|3(3) + 4(1) + 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|9 + 4 + 7|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4 \] Portanto, a distância do centro à reta é 4, que é o raio da circunferência. 2. Equação da circunferência: A equação da circunferência com centro \( (h, k) \) e raio \( r \) é dada por: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Substituindo \( h = 3, k = 1 \) e \( r = 4 \): \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 16 \] 3. Expandindo a equação: \[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = 16 \] \[ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 = 16 \] \[ x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0 \] Agora, analisando as alternativas: A) \( x^2 + y^2 + 6x - 2y - 6 = 0 \) - Incorreta B) \( x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0 \) - Correta C) \( x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0 \) - Incorreta D) \( x^2 + y^2 + 2y - 6x - 6 = 0 \) - Incorreta E) \( x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0 \) - Incorreta Portanto, a alternativa correta é: B) \( x^2 + y^2 - 6x - 2y - 6 = 0 \).