Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar qual é verdadeira sobre os vetores \( u = (1, 2, 3) \), \( v = (4, 0, 6) \) e \( w = (0, 2, -2) \). a) { u, v, w } é uma base para \( \mathbb{R}^3 \): Para que um conjunto de vetores seja uma base de \( \mathbb{R}^3 \), eles devem ser linearmente independentes e ter três vetores. Vamos verificar a independência linear. Se formarmos a matriz com esses vetores como linhas e calcular o determinante, se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes. b) { u, v } é um conjunto linearmente independente: Para verificar isso, podemos calcular o determinante da matriz formada por \( u \) e \( v \). Como temos apenas dois vetores em \( \mathbb{R}^3 \), eles sempre serão linearmente independentes, a menos que um seja múltiplo do outro. Neste caso, \( u \) e \( v \) não são múltiplos um do outro, então essa afirmação é verdadeira. c) Os vetores u, v e w são todos ortogonais entre si: Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre cada par de vetores deve ser zero. Vamos calcular os produtos escalares: - \( u \cdot v = 1*4 + 2*0 + 3*6 = 4 + 0 + 18 = 22 \) (não é zero) - \( u \cdot w = 1*0 + 2*2 + 3*(-2) = 0 + 4 - 6 = -2 \) (não é zero) - \( v \cdot w = 4*0 + 0*2 + 6*(-2) = 0 + 0 - 12 = -12 \) (não é zero) Como nenhum dos produtos escalares é zero, essa afirmação é falsa. Portanto, a alternativa correta é: b) { u, v } é um conjunto linearmente independente.