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Determine a distância entre o centro da circunferência ????2 − 2???? + ????2 + 6???? − 6 = 0 e a reta 3???? = −4???? − 1. a) 12/5 b) 4/5 c) 5 d) 1 e) 1/5

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Matematicamente

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Geografia
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Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o centro da circunferência dada pela equação \(x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0\). Vamos reescrever essa equação na forma padrão da circunferência. 1. Completar o quadrado: - Para \(x^2 - 2x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Para \(y^2 + 6y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \] 2. Substituindo na equação: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 - 6 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 16 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16 \] O centro da circunferência é \(C(1, -3)\). 3. Encontrar a distância do ponto \(C(1, -3)\) à reta \(3x + 4y + 1 = 0\): A fórmula para a distância \(d\) de um ponto \((x_0, y_0)\) a uma reta \(Ax + By + C = 0\) é: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Aqui, \(A = 3\), \(B = 4\), \(C = 1\), \(x_0 = 1\) e \(y_0 = -3\). 4. Substituindo os valores: \[ d = \frac{|3(1) + 4(-3) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 12 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-8|}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} \] Portanto, a distância entre o centro da circunferência e a reta é \( \frac{8}{5} \). Como essa alternativa não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Vamos revisar as opções: a) 12/5 b) 4/5 c) 5 d) 1 e) 1/5 Nenhuma das opções corresponde ao resultado encontrado. Você pode verificar se a questão está correta ou se há algum erro nas opções fornecidas.

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A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação ???? = 3/4???? + 2 tem equação dada por
a) ????2 + ????2 − 2???? + 2???? − 7 = 0. b) ????2 + ????2 − 2???? − 2???? − 7 = 0. c) ????2 + ????2 + 2???? + 2???? + 7 = 0. d) ????2 + ????2 − 2???? + 2???? + 7 = 0. e) ????2 + ????2 − 2???? + 2???? = 0.

Qual é a posição do ponto P(5, 3) em relação à circunferência de centro C(3, 1) e raio igual a 5 unidades?
a) Externo. b) Interno, não coincidente com o centro. c) Pertence à circunferência. d) Coincidente com o centro. e) Excêntrico.

Considere a circunferência cuja equação, no plano cartesiano, seja dada por: ????: ????2 − 6???? + 9 + ????2 − 4 = 0
Sobre a circunferência C, é correto afirmar que a) está inteiramente localizada na reunião do 1º com o 2º quadrante. b) possui raio 4. c) possui raio 9. d) possui dois pontos em comum com o eixo das ordenadas. e) possui dois pontos em comum com o eixo das abscissas.

O ponto P(1, 4) é _______________ à circunferência de equação (???? + 1)2 + (???? − 5)2 = 9 e é _______________ à circunferência de equação (???? − 3)2 + (???? − 5)2 = 16.
a) exterior; exterior b) exterior; interior c) interior; exterior d) interior; interior

A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo ???? é paralelo ao chão do parque, e o eixo ???? tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a) ????(????) = −√2 − ????2 b) ????(????) = √2 − ????2 c) ????(????) = ????2 − 2 d) ????(????) = −√4 − ????2 e) ????(????) = √4 − ????2

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando "tiros", seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: ????(0;  4),  ????(4;  4),  ????(4;  0),  ????(2;  2) e ????(0;  2).
Passando pelo ponto ????, qual a equação forneceria a maior pontuação? a) ???? = 0 b) ???? = 0 c) ????2 + ????2 = 16 d) ????2 + (???? − 2)2 = 4 e) (???? − 2)2 + (???? − 2)2 = 8

As posições dos pontos ???? (1,  7) e ???? (7,  1) em relação à circunferência de equação (???? − 6)2 + (???? − 2)2 = 16 são, respectivamente,
a) interna e interna. b) interna e externa. c) externa e interna. d) externa e externa.

Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: ????2 + ????2 − 2???? − 4???? − 31 ≤ 0. A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D.

Para apagar os focos ???? e ???? de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 ???? um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco ????, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco ????, de temperatura menos elevada.
Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é
a) 30.
b) 40
c) 45.
d) 60.
e) 68.

Se (????,  ????) são as coordenadas cartesianas do centro da circunferência ????2 + ????2 − 4???? + 2???? − 4 = 0, então é correto afirmar que 5???? − 3???? é igual a:
a) 7 b) 10 c) 13 d) 16 e) 19

As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação ????2 − 4???? + (???? + 1)2 = 0 são, respectivamente:
a) (– 2, 1) e 4 b) (2, – 1) e 2 c) (4, – 1) e 2 d) (−1,2) e √2 e) (2,2) e √2

Em um plano munido com o sistema de coordenadas cartesianas usual, fixada uma unidade de comprimento (????. ????. ), a equação ????2 + ????2 + 2???? − 2???? + 1 = 0 representa uma circunferência com centro no ponto ????(????,  ????) cuja medida do raio é ???? ????. ????. Assim, é correto afirmar que o valor da soma ???? + ???? + ???? é igual a
a) 0. b) 3. c) 1. d) 2.

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a distância do centro da circunferência ????2 + ????2 − 6???? + 8???? + 9 = 0 à origem é ????.  ????. ≡ ???????????????????????????? ???????? ????????????????????????????????????????????
a) 3 ????.  ????. b) 6 ????.  ????. c) 5 ????.  ????. d) 4 ????.  ????.

Um círculo tangencia a reta ????, como na figura abaixo. O centro do círculo é o ponto (7,  2) e a reta ???? é definida pela equação 3???? − 4???? + 12 = 0.
A equação do círculo é a) (???? − 7)2 + (???? − 2)2 = 25. b) (???? + 7)2 + (???? + 2)2 = 25. c) (???? − 7)2 + (???? + 2)2 = 36. d) (???? − 7)2 + (???? − 2)2 = 36. e) (???? + 7)2 + (???? − 2)2 = 36.

No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,3) e tangencia a reta de equação 3???? + 4???? − 12 = 0.
A equação dessa circunferência é: a) ????2 + ????2 − 10???? − 6???? + 25 = 0 b) ????2 + ????2 − 10???? − 6???? + 36 = 0 c) ????2 + ????2 − 10???? − 6???? + 49 = 0 d) ????2 + ????2 + 10???? + 6???? + 16 = 0 e) ????2 + ????2 + 10???? + 6???? + 9 = 0.

Um fabricante de brinquedos utiliza material reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou a atenção de um estudante de Geometria, por ser confeccionado da seguinte forma: amarra-se um barbante em um bico de garrafa pet cortada e, na extremidade, cola-se uma bola de plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, conforme a figura a seguir: Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3,4), a equação que representa a circunferência é igual a
a) ????2 + ????2 − 6???? − 8???? − 11 = 0 b) ????2 + ????2 + 6???? + 8???? − 11 = 0 c) ????2 + ????2 + 6???? + 8???? + 11 = 0 d) ????2 + ????2 − 6???? − 8???? + 11 = 0 e) ????2 + ????2 − 8???? − 6???? − 11 = 0.

Considerando a circunferência C de equação (???? − 3)2 + (???? − 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas: 1. O ponto P(4, 2) pertence a C. 2. O raio de C é 5. 3. A reta ???? = 4/3???? passa pelo centro de C.
Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

A equação da circunferência que tem um dos diâmetros com extremidades nos pontos ????(−1,  3) e ????(3, −5) é dada por:
a) (???? − 1)2 + (???? + 1)2 = 20. b) (???? + 1)2 + (???? − 1)2 = 20. c) (???? − 2)2 + (???? + 4)2 = 80. d) (???? − 1)2 + (???? + 1)2 = 80. e) (???? + 2)2 + (???? − 4)2 = 20.

Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm3, dessa embalagem?
a) 150√3. b) 1.500. c) 900√3. d) 1.800. e) 1.800√3.

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