Para calcular o determinante da matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) e \( \mathbf{w} \), podemos montar a matriz \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \] Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz \( 3 \times 3 \) pode ser calculado pela fórmula: \[ \text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \] onde a, b, c são os elementos da primeira linha, d, e, f são os elementos da segunda linha e g, h, i são os elementos da terceira linha. Substituindo os valores: \[ \text{det}(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4(2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) \] Calculando cada parte: 1. \( 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 \) 2. \( 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 = 18 - 24 = -6 \) 3. \( 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 \) Agora, substituindo de volta: \[ \text{det}(A) = 1(-3) - 4(-6) + 7(-3) \] \[ = -3 + 24 - 21 \] \[ = 0 \] Portanto, o determinante da matriz é 0. Isso indica que os vetores são linearmente dependentes. A alternativa correta é: a) 0.