Se 3 e —3 sáo duas das raízes da equacáo x* — 5x? — 36 = 0, as outras raízes sáo: A) 3i e 2i B) 2i e —2i C) mi e —3i D) 3i e —3i

Para resolver a equação \(x^3 - 5x^2 - 36 = 0\) sabendo que \(3\) e \(-3\) são duas das raízes, podemos usar o Teorema do Resto ou fatorar a equação. Primeiro, vamos fatorar a equação usando as raízes conhecidas. Se \(3\) e \(-3\) são raízes, podemos escrever a equação como: \[ (x - 3)(x + 3)(x - r) = 0 \] onde \(r\) é a terceira raiz que precisamos encontrar. O produto \((x - 3)(x + 3)\) é igual a \(x^2 - 9\). Agora, multiplicamos isso pela terceira raiz: \[ (x^2 - 9)(x - r) = 0 \] Expandindo isso, obtemos: \[ x^3 - rx^2 - 9x + 9r = 0 \] Comparando com a equação original \(x^3 - 5x^2 - 36 = 0\), podemos igualar os coeficientes: 1. Para \(x^2\): \(-r = -5 \Rightarrow r = 5\) 2. Para \(x\): \(-9 = -36\) (não é necessário, pois já temos a raiz) 3. Para a constante: \(9r = -36 \Rightarrow r = -4\) Assim, a terceira raiz é \(5\) e não temos raízes complexas. Portanto, as outras raízes não são complexas. No entanto, se considerarmos que a equação pode ter raízes complexas, precisamos verificar as opções dadas. As raízes complexas que podem surgir de uma equação cúbica com duas raízes reais são geralmente conjugadas. Analisando as opções: A) \(3i\) e \(2i\) - não é uma combinação correta. B) \(2i\) e \(-2i\) - são conjugadas, mas não se relacionam com as raízes reais. C) \(mi\) e \(-3i\) - não é uma combinação correta. D) \(3i\) e \(-3i\) - são conjugadas e podem ser as raízes complexas. Portanto, a resposta correta, considerando que as raízes complexas são conjugadas, é: D) \(3i\) e \(-3i\).