Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 + 7x^2 - 5x \), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^2 + 14x - 5 \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 3x^2 + 14x - 5 = 0 \] 3. Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 3 \), \( b = 14 \), e \( c = -5 \). Calculando o discriminante: \[ \Delta = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 16}{6} \] Isso nos dá duas soluções: \[ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-30}{6} = -5 \] 4. Encontrar os valores de \( f(x) \) para os pontos críticos: - Para \( x_1 = \frac{1}{3} \): \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 7\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} + \frac{7}{9} - \frac{5}{3} = \frac{1}{27} + \frac{21}{27} - \frac{45}{27} = \frac{-23}{27} \] - Para \( x_2 = -5 \): \[ f(-5) = (-5)^3 + 7(-5)^2 - 5(-5) = -125 + 175 + 25 = 75 \] 5. Pontos críticos: - \( P_1\left(\frac{1}{3}, \frac{-23}{27}\right) \) - \( P_2(-5, 75) \) Agora, analisando as alternativas que você forneceu, parece que não estão completas. Você precisa criar uma nova pergunta com as opções corretas para que eu possa ajudá-lo a identificar a resposta correta.