Dada a equação x− cos (xy) = 0, calcule dy/dx. (A) − 1/(x sen (xy)) (B) − 1/(y sen (xy)) (C) y/x (D) x/y (E) −(1 + y) (F) Nenhuma das respostas acima

Para calcular \(\frac{dy}{dx}\) a partir da equação \(x - \cos(xy) = 0\), vamos usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita. 1. Diferenciando ambos os lados em relação a \(x\): \[ \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\cos(xy)) = 0 \] 2. A derivada de \(x\) é 1: \[ 1 - \frac{d}{dx}(\cos(xy)) = 0 \] 3. Usando a regra da cadeia para \(\cos(xy)\): \[ \frac{d}{dx}(\cos(xy)) = -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy) \] 4. Agora, aplicamos a regra do produto para \(\frac{d}{dx}(xy)\): \[ \frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx} \] 5. Substituindo isso na equação: \[ 1 + \sin(xy)(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \] 6. Isolando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \sin(xy)(y + x\frac{dy}{dx}) = -1 \] \[ y + x\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(xy)} \] \[ x\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(xy)} - y \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{\sin(xy)} - y}{x} \] 7. Simplificando: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1 + y\sin(xy)}{x\sin(xy)} \] Agora, vamos analisar as alternativas: (A) \(-\frac{1}{x \sin(xy)}\) (B) \(-\frac{1}{y \sin(xy)}\) (C) \(y/x\) (D) \(x/y\) (E) \(- (1 + y)\) (F) Nenhuma das respostas acima A expressão que encontramos não corresponde exatamente a nenhuma das alternativas, então a resposta correta é: (F) Nenhuma das respostas acima.