Matematica

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IME 1969/1970 - Álgebra
1a Questão, Item 1 [Valor 0,4]
C = lim
x→π
2
(secx− tg x). Calcule C.
(A) 0
(B) 1
(C) ∞
(D) π
(E) e
(F) Nenhum dos valores acima
1a Questão, Item 2 [Valor 0,4]
D = lim
x→∞
(
x + 2
x− 1
)x+2
. Calcule D.
(A) e2
(B) 1
(C) e3
(D) 0
(E) e(e− 1)
(F) Nenhum dos valores acima
1a Questão, Item 3 [Valor 0,4]
E =
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
. Calcule E.
(A) 4/5
(B) 5/6
(C) 6/7
(D) 7/8
(E) 1
(F) ∞
1a Questão, Item 4 [Valor 0,4]
Determinar os pontos de inflexão da Gaussiana y =
e−x2
.
Obs: e é base dos logaritmos neperianos.
(A)
(√
2
2 , 1
)
e
(
−
√
2
2 ,−1
)
(B) (0, 1)
(C)
(√
2
2 , e−0,5
)
e
(
−
√
2
2 , e−0,5
)
(D) Não existem pontos de inflexão
(E) (−∞, 0) e (+∞, 0)
(F) Nenhuma das respostas acima
1a Questão, Item 5 [Valor 0,4]
Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao solo,
de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe
até a metade da altura de que caiu. Calcular o compri-
mento total percorrido pela bola em suas trajetórias,
até atingir o repouso.
(A) 3h
(B) 1,5h
(C) h
(D) 2h
(E) 1,75h
(F) Nenhum dos valores acima
1a Questão, Item 6 [Valor 0,4]
Sendo, A8
n+1 = A7
n + yA6
n e n > 7, determinar y em
função de n.
Obs: n é inteiro positivo.
(A) n2
(B) (n− 7)(n− 8)
(C) n(n− 6)
(D) (n− 6)(n− 7)
(E) (n− 6)(n− 8)
(F) Nenhum dos valores acima
1a Questão, Item 7 [Valor 0,4]
Dada a curva 4x2 + y2 − 4 = 0, determine as equações
das retas tangentes a esta curva que contêm o ponto
(−3,−2).
(A) x + 2 = 0 e −12x + 8y = 20
(B) y + 2 = 0 e −12x + 8y = 20
(C) x + y + 2 = 0 e −12x + 8y − 20 = 0
(D) 1 + x + y = 0 e 12x− 8y + 20 = 0
(E) 2x + y + 2 = 0 e 12x− 8y + 20 = 0
(F) Nenhuma das respostas anteriores
1a Questão, Item 8 [Valor 0,4]
Estabeleça as equações das retas que distam 10 (dez)
unidades da origem e que contêm o ponto (5, 10).
(A)
3x− 2y = 20
y = −6
(B)
3x + 4y = 60
x + 2 = 0
(C)
x− y = 2
y = 10
(D)
4x + 3y = 50
y = 10
(E)
4x + 2y = 50
x + 2y = 10
(F) Nenhuma das respostas acima
1a Questão, Item 9 [Valor 0,4]
Dado o sistema de equações abaixo



x + ay + a2z = k2
x
a
+ y + bz = k2
x
a2
+
y
b
+ z = k2
onde a, b, k 6= 0, pedem-se os valores de a e b, que tor-
nem o sistema indeterminado.
(A) a = k2; b = k2
(B) a = 2; b = 1
(C) a = 1; b = 2
(D) a = 1; b = 1
(E) a = b; b 6= 1
(F) Nenhuma das respostas acima
1a Questão, Item 10 [Valor 0,4]
Calcule o valor do determinante de ordem n abaixo, em
função de a e n.
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a 1 1 · · · 1
1 a 1 · · · 1
1 1 a · · · 1
...
...
...
. . .
...
1 1 1 · · · a
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(A) n2 + a(n− 1)(a + 1)n
(B) (a− 1)(n+1)(a + 1− n)
(C) (n + 1)(n− 1)(a + n)(n−1)
(D) (a + n− 1)(a− 1)(n−1)
(E)
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 11 [Valor 0,4]
Dada a equação x− cos (xy) = 0, calcule dy
dx .
(A) − 1
x sen (xy)
(B) − 1
y sen (xy)
(C) y/x
(D) x/y
(E) −(1 + y)
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 12 [Valor 0,4]
Determine quantos números de 4 algarismos diferentes
podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Obs: Considere os números iniciados com o algarismo
0 (por exemplo, 0123), números de 3 algarismos.
(A) 360
(B) 720
(C) 300
(D) 5
(E) 15
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 13 [Valor 0,4]
Determine as asśıntotas da curva y = x + 2− 3
x
.
(A) A única asśıntota é x = 0
(B) x = 0 e y = x− 2
(C) x = 0, y = 0 e y = x + 2
(D) x = 0 e y = x + 2
(E) x = 0 e y = 0
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 14 [Valor 0,4]
F =
√
−15− 8i. Calcule F , escrevendo a resposta sob
a forma a + bi, com a e b inteiros.
Obs: i =
√
−1.
(A) 1 + 4i e 1− 4i
(B) −1± 3i
(C) −1− 3i
(D) −4i + 1 e −1 + 4i
(E) ±4± i
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 15 [Valor 0,4]
Determine os pontos do plano complexo que satisfazem
simultaneamente as equações
|z − 2| = |z + 4|
|z − 3|+ |z + 3| = 10
Obs: |z| é módulo de z.
(A) x = 2; y = 3
(B) x = ±2; y = 0
(C) x = −1; y = ±8/5
√
6
(D) x = −3; y = ±2
(E) x = −1; y = 1
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 16 [Valor 0,4]
As três ráızes da equação x3 +px2 +qx+r = 0 são a, b,
c. Se, Sn = an + bn + cn, com n inteiro e n > 3, calcule
K, sendo K = Sn + pSn−1 + qSn−2 + rSn−3.
(A) a + b
(B) 0
(C) an bn cn
(D) (a + b + c)n
(E) 3
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 17 [Valor 0,4]
Calcule as ráızes da equação 2x3 − 7x2 + 10x− 6 = 0,
sabendo que uma das ráızes é real, da forma n/d, sendo
n e d, inteiros, positivos e primos entre si.
(A) −3/2; 4/3; 7/5
(B) 3/2; 1± i
(C) 3/2; 2± 2i
(D) 2/3; ±i
(E) 3/2; ±i
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 18 [Valor 0,4]
Sabendo que a equação x3 + mx2 + n = 0, em que m
e n são reais, admite ráızes complexas de módulo β,
exprima m em função de n e β.
(A) m =
n2 − β5
n2β2
(B) m =
n4 − β3
β2
(C) m =
n5 − β6
nβ2
(D) m =
n2 − β6
nβ2
(E) m =
n2 − β4
n2β2
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 19 [Valor 0,4]
Calcule o coeficiente de x6 no desenvolvimento(
1 + x + x2
)5
.
(A) 40
(B) 12
(C) 45
(D) 30
(E) 15
(F) Nenhuma das respostas acima
2a Questão, Item 20 [Valor 0,4]
De um disco de raio R = 1
2π retire um setor cujo arco
é x. Com o restante do disco forme um cone. Calcule
o valor de x para que o volume do cone seja máximo.
Obs: V = 1
3Bh, sendo B a área da base e h a altura
do cone.
(A) 1−
√
2/3
(B) 4
(C) 1 +
√
2/3
(D) π/6
(E) 2π + 2
(F) Nenhuma das respostas acima
3a Questão, Item 21 [Valor 0,4]
Na figura abaixo, temos n ćırculos consecutivos e tan-
gentes, cujos diâmetros estão em progressão aritmética
de razão 1 e os centros sobre o eixo dos x. Seja ABCD
um trapézio cujas bases AB = 2 e CD são respectiva-
mente os diâmetros do primeiro e do enegésimo ćırculo.
Calcule a área de ABCD em função de n.
Obs: Área do trapézio = (Base maior)+(Base menor)
2 ×
altura.
B
A
x
D
C
y
(A) (n− 1)(2 + n + 1)2
(B) 1/2(n3 + 5n2 + 4)
(C) 1/4(n3 + 5n2 + 3n− 9)
(D) 1/4(n3 + 5n2 + 4n)
(E) n3
(F) Nenhuma das respostas acima
3a Questão, Item 22 [Valor 0,4]
Calcule os valores de X e Y sabendo que:
X > Y
log5(X + Y )− 2 log25 5 = 0
5log5(X+Y )+antiln
(
log3XY
log3e
)
+colog5(X+Y )−5 log39=0
Obs: O śımbolo ln significa logaritmo neperiano; e é
base dos logaritmos neperianos.
(A) X = 3 e Y = 2
(B) X = 3 e Y = 1
(C) X = 5 e Y = 0
(D) X = 4 e Y = 1
(E) Solução imposśıvel
(F) Nenhuma das respostas acima
3a Questão, Item 23 [Valor 0,4]
G = lim
n→∞
12 + 22 + 32 + . . . + n2
n3
. Calcule G.
(A) 0
(B) 1
(C) ∞
(D) 1/3
(E) 1/2
(F) Nenhuma das soluções acima
3a Questão, Item 24 [Valor 0,4]
Uma cônica tem por equação 9y2− 18y + 25x2 + 50x−
191 = 0. Identifique-a e calcule sua excentricidade, se
for o caso.
(A) Uma hipérbole de excentricidade 0,7
(B) Uma elipse com focos no eixo dos yy
(C) Uma hipérbole equilátera
(D) Uma elipse de excentricidade 0,8
(E) Uma parábola de diretriz x = −1
(F) Nenhuma das curvas acima
3a Questão, Item 25 [Valor 0,4]
Seja A =
(√
3 + i
)2α
, onde α é um número real, inteiro
e positivo. Sendo A um número real, calcule o valor de
α para que as ráızes da equação (α+i)2x+(3+i)2y = 0
sejam também reais.
Obs: i =
√
−1.
(A) 1
(B) 10
(C) 12
(D) 4
(E) Imposśıvel
(F) Nenhuma das respostas acima