Para encontrar bases dos subespaços de \( \mathbb{R}^4 \) mencionados, vamos analisar cada um deles: a) O plano \( 3x - 2y + 5z = 0 \): Esse é um plano em \( \mathbb{R}^3 \) (considerando \( w \) como a quarta coordenada que pode ser livre). Para encontrar uma base, podemos expressar duas variáveis em função de uma terceira. Por exemplo, podemos escolher \( z \) e \( y \) como livres: - Se \( z = 1 \), temos \( 3x - 2y + 5(1) = 0 \) → \( 3x - 2y = -5 \). - Se \( y = 1 \), temos \( 3x - 2(1) + 5z = 0 \) → \( 3x + 5z = 2 \). Assim, uma base para esse plano pode ser formada por vetores como \( (1, 0, 0, 0) \) e \( (0, 1, 0, 0) \) e \( (0, 0, 1, 0) \). b) O plano \( x - y = 0 \): Esse plano é equivalente a \( x = y \). Podemos expressar \( x \) e \( y \) em função de \( z \) e \( w \): - Se \( z \) e \( w \) são livres, podemos escrever \( (t, t, s, u) \) onde \( t, s, u \) são parâmetros livres. Uma base pode ser \( (1, 1, 0, 0) \), \( (0, 0, 1, 0) \) e \( (0, 0, 0, 1) \). c) A reta \( x = 2t, y = -t, z = 4t \): Essa reta é gerada pelo vetor \( (2, -1, 4, 0) \). Portanto, a base é simplesmente \( \{(2, -1, 4, 0)\} \). d) Todos os vetores da forma \( (a, b, c) \) com \( b = a + c \): Podemos reescrever os vetores como \( (a, a+c, c) \). Se escolhermos \( a \) e \( c \) como livres, podemos expressar isso como \( a(1, 1, 0) + c(0, 1, 1) \). Assim, uma base é \( \{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)\} \). Resumindo, as bases dos subespaços são: - a) Para o plano \( 3x - 2y + 5z = 0 \): \( \{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)\} \) - b) Para o plano \( x - y = 0 \): \( \{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)\} \) - c) Para a reta: \( \{(2, -1, 4, 0)\} \) - d) Para os vetores da forma \( (a, b, c) \) com \( b = a + c \): \( \{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)\} \) Se precisar de mais detalhes sobre algum subespaço específico, é só avisar!