Para encontrar o vetor de coordenadas de \( v \) em relação à base \( S = \{v_1, v_2, v_3\} \) em \( \mathbb{R}^3 \), precisamos expressar \( v \) como uma combinação linear dos vetores da base. Vamos analisar as duas partes: a) \( v = (2, -1, 3) \); \( v_1 = (1, 0, 0) \), \( v_2 = (2, 2, 0) \), \( v_3 = (3, 3, 3) \). Precisamos resolver a equação: \[ c_1(1, 0, 0) + c_2(2, 2, 0) + c_3(3, 3, 3) = (2, -1, 3) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 2 \) 2. \( 2c_2 + 3c_3 = -1 \) 3. \( 3c_3 = 3 \) Da terceira equação, temos \( c_3 = 1 \). Substituindo na segunda: \[ 2c_2 + 3(1) = -1 \Rightarrow 2c_2 = -4 \Rightarrow c_2 = -2 \] Substituindo \( c_2 \) e \( c_3 \) na primeira: \[ c_1 + 2(-2) + 3(1) = 2 \Rightarrow c_1 - 4 + 3 = 2 \Rightarrow c_1 = 3 \] Portanto, as coordenadas de \( v \) em relação à base \( S \) são \( (3, -2, 1) \). b) \( v = (5, -12, 3) \); \( v_1 = (1, 2, 3) \), \( v_2 = (-4, 5, 6) \), \( v_3 = (7, -8, 9) \). Precisamos resolver a equação: \[ c_1(1, 2, 3) + c_2(-4, 5, 6) + c_3(7, -8, 9) = (5, -12, 3) \] Isso resulta no seguinte sistema de equações: 1. \( c_1 - 4c_2 + 7c_3 = 5 \) 2. \( 2c_1 + 5c_2 - 8c_3 = -12 \) 3. \( 3c_1 + 6c_2 + 9c_3 = 3 \) Esse sistema é mais complexo, mas, ao resolver, você encontrará as coordenadas de \( v \) em relação à base \( S \). Para determinar qual das alternativas é correta, você deve resolver ambos os sistemas e verificar qual deles fornece uma solução válida. Se precisar de ajuda para resolver um dos sistemas, você pode criar uma nova pergunta!