O valor do logaritmo de 81 numa base b, é o dobro do valor do logaritmo de 9 nessa mesma base b. Sendo assim, b é igual a A) 9 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3

Vamos resolver a questão passo a passo. Sabemos que o logaritmo de 81 na base b é o dobro do logaritmo de 9 na mesma base b. Podemos expressar isso matematicamente: \[ \log_b(81) = 2 \cdot \log_b(9) \] Sabemos que \(81 = 9^2\), então podemos reescrever o logaritmo: \[ \log_b(81) = \log_b(9^2) = 2 \cdot \log_b(9) \] Substituindo na equação original, temos: \[ 2 \cdot \log_b(9) = 2 \cdot \log_b(9) \] Isso é sempre verdadeiro, o que significa que a relação se mantém para qualquer base b que não seja 1 ou 0. Agora, vamos verificar as alternativas para encontrar um valor específico para b. Se considerarmos \(b = 3\): \[ \log_3(81) = \log_3(3^4) = 4 \] \[ \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2 \] E verificamos: \[ \log_3(81) = 4 = 2 \cdot 2 = 2 \cdot \log_3(9) \] Portanto, a base b que satisfaz a condição é: E) 3.