Para encontrar a raiz positiva da função \( f(x) = x^3 - 2x - 1 \), precisamos avaliar a função em alguns pontos para determinar em qual intervalo a raiz se encontra. 1. Calcule \( f(1) \): \[ f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \] 2. Calcule \( f(2) \): \[ f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 - 1 = 8 - 4 - 1 = 3 \] 3. Verifique os sinais: - \( f(1) < 0 \) (negativo) - \( f(2) > 0 \) (positivo) Como a função muda de sinal entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \), sabemos que existe uma raiz nesse intervalo. Agora, vamos verificar os intervalos propostos: - (1, 3/2): \( f(1) < 0 \) e \( f(3/2) \): \[ f(3/2) = (3/2)^3 - 2 \cdot (3/2) - 1 = \frac{27}{8} - 3 - 1 = \frac{27}{8} - \frac{24}{8} - \frac{8}{8} = \frac{-5}{8} < 0 \] Portanto, não há raiz aqui. - (0, 1/2): \( f(0) = -1 \) e \( f(1/2) \): \[ f(1/2) = (1/2)^3 - 2 \cdot (1/2) - 1 = \frac{1}{8} - 1 - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8} < 0 \] Portanto, não há raiz aqui. - (3/2, 2): \( f(3/2) < 0 \) e \( f(2) > 0 \), então há uma raiz aqui. - (1/2, 1): \( f(1/2) < 0 \) e \( f(1) < 0 \), então não há raiz aqui. Assim, a raiz positiva da função \( f(x) = x^3 - 2x - 1 \) pertence ao intervalo (3/2, 2).