Para resolver essa questão, precisamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu. Primeiro, vamos definir as variáveis: - \( P(A) \): Probabilidade de uma peça ser da unidade A. - \( P(B) \): Probabilidade de uma peça ser da unidade B. - \( P(C) \): Probabilidade de uma peça ser da unidade C. - \( P(D|A) \): Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que é da unidade A. - \( P(D|B) \): Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que é da unidade B. - \( P(D|C) \): Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que é da unidade C. - \( P(B|D) \): Probabilidade de uma peça ser da unidade B dado que é defeituosa. Vamos calcular as proporções de produção: 1. Se a produção de B é \( x \), então: - A = \( 2x \) - C = \( \frac{x}{3} \) 2. A produção total \( T \) é: \[ T = A + B + C = 2x + x + \frac{x}{3} = \frac{6x + 3x + x}{3} = \frac{10x}{3} \] 3. As proporções de cada unidade são: - \( P(A) = \frac{2x}{T} = \frac{2x}{\frac{10x}{3}} = \frac{6}{10} = 0,6 \) - \( P(B) = \frac{x}{T} = \frac{x}{\frac{10x}{3}} = \frac{3}{10} = 0,3 \) - \( P(C) = \frac{\frac{x}{3}}{T} = \frac{\frac{x}{3}}{\frac{10x}{3}} = \frac{1}{10} = 0,1 \) Agora, as probabilidades de defeito: - \( P(D|A) = 0,04 \) - \( P(D|B) = 0,06 \) - \( P(D|C) = 0,02 \) A probabilidade total de uma peça ser defeituosa \( P(D) \) é: \[ P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C) \] \[ P(D) = 0,6 \cdot 0,04 + 0,3 \cdot 0,06 + 0,1 \cdot 0,02 = 0,024 + 0,018 + 0,002 = 0,044 \text{ ou } 4,4\% \] Agora, usando o Teorema de Bayes para encontrar \( P(B|D) \): \[ P(B|D) = \frac{P(B) \cdot P(D|B)}{P(D)} \] \[ P(B|D) = \frac{0,3 \cdot 0,06}{0,044} = \frac{0,018}{0,044} \approx 0,409 \text{ ou } 40,9\% \] Portanto, a probabilidade de que uma peça defeituosa tenha sido fabricada na unidade B é aproximadamente 41%. A alternativa correta é: 41%.