Vamos analisar cada uma das afirmações: I. Os pontos A(x, 3), B(-2, -5) e C(-1,-3) são colineares, quando x=2. - Substituindo x por 2, temos A(2, 3), B(-2, -5) e C(-1, -3). Para verificar se são colineares, calculamos o determinante: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -2 & -5 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, obtemos: \[ D = 2(-5 - (-3)) - 3(-2 - (-1)) + 1(-2 \cdot -3 - (-5) \cdot -1) = 2(-2) - 3(-1) + 1(6 - 5) = -4 + 3 + 1 = 0 \] Como D = 0, os pontos são colineares. Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II. Os pontos A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) não estão alinhados. - Vamos calcular o determinante: \[ D = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, obtemos: \[ D = 0(1 - 5) - 2(-3 - 4) + 1(-3 \cdot 5 - 1 \cdot 4) = 0 + 2(7) - 1(15 + 4) = 14 - 19 = -5 \] Como D ≠ 0, os pontos não são colineares. Portanto, a afirmativa II é verdadeira. III. Os pontos A(1, 3), B(x, 1) e C(3, 5) formam os vértices do triângulo ABC, quando x= -1. - Substituindo x por -1, temos A(1, 3), B(-1, 1) e C(3, 5). Vamos calcular o determinante: \[ D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, obtemos: \[ D = 1(1 - 5) - 3(-1 - 3) + 1(-1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) = 1(-4) + 3(4) - 1(-5 - 3) = -4 + 12 + 8 = 16 \] Como D ≠ 0, os pontos não são colineares e, portanto, formam um triângulo. A afirmativa III é verdadeira. Agora, analisando as afirmativas: - I é verdadeira. - II é verdadeira. - III é verdadeira. Portanto, a alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: E) I, II e III.