Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sen^n(x) + \sen(x^n) \), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Derivada de \( \sen^n(x) \): - Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx}[\sen^n(x)] = n \sen^{n-1}(x) \cos(x) \). 2. Derivada de \( \sen(x^n) \): - Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente: \( \frac{d}{dx}[\sen(x^n)] = \cos(x^n) \cdot \frac{d}{dx}[x^n] = \cos(x^n) \cdot n x^{n-1} \). Agora, juntando as duas partes, temos: \[ f'(x) = n \sen^{n-1}(x) \cos(x) + \cos(x^n) \cdot n x^{n-1} \] Analisando as alternativas: a) \( n \sen(x) \cos(x) + n \cos(x^n) x^{n-1} \) - Não está correta, pois a derivada de \( \sen^n(x) \) não está correta. b) \( n \cos^{n-1}(x) \sen(x) + n \cos(x^n) x^{n-1} \) - Não está correta, pois a derivada de \( \sen^n(x) \) não está correta. c) \( n \sen^{n-1}(x) \cos(x) + n \cos(x) x^{n-1} \) - Não está correta, pois a parte da derivada de \( \sen(x^n) \) não está correta. d) \( n \sen^{n-1}(x) \cos(x) + n \cos(x^n) x^{n-1} \) - Esta está correta, pois corresponde exatamente ao que encontramos. e) \( n \sen^{n-1}(x) \cos(x^n) + n \cos(x^n) x^{n-1} \) - Não está correta, pois a parte da derivada de \( \sen^n(x) \) não está correta. Portanto, a alternativa correta é: d) \( n \sen^{n-1}(x) \cos(x) + n \cos(x^n) x^{n-1} \).