Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^2(x + 5)^5 \), precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Regra do Produto: Se temos duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \), a derivada do produto \( u(x)v(x) \) é dada por \( u'v + uv' \). 2. Identificando as funções: - \( u(x) = x^2 \) e \( v(x) = (x + 5)^5 \). 3. Calculando as derivadas: - \( u'(x) = 2x \). - Para \( v(x) = (x + 5)^5 \), usando a regra da cadeia, temos: - \( v'(x) = 5(x + 5)^4 \cdot 1 = 5(x + 5)^4 \). 4. Aplicando a regra do produto: - \( f'(x) = u'v + uv' \) - \( f'(x) = (2x)(x + 5)^5 + (x^2)(5(x + 5)^4) \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( f'(x) = 0 \) - Incorreto, pois a derivada não é zero. b) \( f'(x) = x^2(5(x + 5)^4) \) - Incorreto, pois falta a parte da derivada de \( u(x) \). c) \( f'(x) = 2x(x + 5)^5 - (5(x + 5)^4x^2) \) - Incorreto, pois a soma está errada. d) \( f'(x) = 2x(x + 5)^5 + (5(x + 5)^4)x^2 \) - Correto, pois representa a aplicação correta da regra do produto. e) \( f'(x) = 2x(x + 5)^5 + 4(x + 5)^4x^2 \) - Incorreto, pois o coeficiente de \( (x + 5)^4 \) está errado. Portanto, a alternativa correta é: d) \( f'(x) = 2x(x + 5)^5 + (5(x + 5)^4)x^2 \).