Para determinar a multiplicidade da raiz \( x = 1 \) do polinômio \( 2x^5 - 5x^4 + 10x^2 - 10x + 3 = 0 \), precisamos verificar se \( x = 1 \) é uma raiz e, em caso afirmativo, quantas vezes ela se repete. 1. Substituir \( x = 1 \) no polinômio: \[ P(1) = 2(1)^5 - 5(1)^4 + 10(1)^2 - 10(1) + 3 = 2 - 5 + 10 - 10 + 3 = 0 \] Portanto, \( x = 1 \) é uma raiz. 2. Derivar o polinômio para verificar a multiplicidade: \[ P'(x) = 10x^4 - 20x^3 + 20x - 10 \] Agora, substituímos \( x = 1 \) na derivada: \[ P'(1) = 10(1)^4 - 20(1)^3 + 20(1) - 10 = 10 - 20 + 20 - 10 = 0 \] Isso indica que \( x = 1 \) é uma raiz de multiplicidade pelo menos 2. 3. Derivar novamente para verificar a multiplicidade: \[ P''(x) = 40x^3 - 60x^2 + 20 \] Substituindo \( x = 1 \): \[ P''(1) = 40(1)^3 - 60(1)^2 + 20 = 40 - 60 + 20 = 0 \] Isso indica que \( x = 1 \) é uma raiz de multiplicidade pelo menos 3. 4. Derivar mais uma vez: \[ P'''(x) = 120x^2 - 120x \] Substituindo \( x = 1 \): \[ P'''(1) = 120(1)^2 - 120(1) = 120 - 120 = 0 \] Isso indica que \( x = 1 \) é uma raiz de multiplicidade pelo menos 4. 5. Derivar uma última vez: \[ P^{(4)}(x) = 240x - 120 \] Substituindo \( x = 1 \): \[ P^{(4)}(1) = 240(1) - 120 = 240 - 120 = 120 \] Como \( P^{(4)}(1) \neq 0 \), isso indica que a multiplicidade da raiz \( x = 1 \) é exatamente 4. Portanto, a resposta correta é multiplicidade 4.