ma equação logarítmica é aquela que contém pelo menos um logaritmo em que a variável, comumente representada por x, é o argumento. Essas equações dese

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ma equação logarítmica é aquela que contém pelo menos um logaritmo em que a variável, comumente representada por x, é o argumento. Essas equações desempenham um papel essencial em diversas áreas da matemática e são especialmente úteis na resolução de problemas relacionados ao crescimento exponencial e ao decaimento, como nos casos de juros compostos e na determinação de meia-vida em física. Além disso, as equações logarítmicas têm uma importância significativa na modelagem de fenômenos naturais e na análise de algoritmos em ciência da computação. Fonte: adaptado de: SOBOT, R. (2021). Exponential and Logarithmic Functions. In: Engineering Mathematics by Example. SpringerLink. Disponível em: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-79545-0_4 . Acesso em: 11 de março, 2024. Considere a equação: log(x+2) + log(x-2) = 1 Analise a equação acima e assinale a alternativa correta: A) A equação tem uma única raiz maior que 7. B) A equação tem uma única raiz menor que 3. C) A equação tem duas raízes opostas. D) A equação tem uma única raiz irracional.

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Vamos resolver a equação passo a passo:

Equação dada:  
log(x + 2) + log(x - 2) = 1

1. Usamos a propriedade dos logaritmos:  
log(a) + log(b) = log(a * b)  
Então:  
log[(x + 2)(x - 2)] = 1

2. Simplificando o produto:  
(x + 2)(x - 2) = x² - 4

3. A equação fica:  
log(x² - 4) = 1

4. Como o logaritmo é na base 10 (assumindo base 10), temos:  
x² - 4 = 10^1  
x² - 4 = 10  
x² = 14

5. Resolvendo para x:  
x = ±√14

6. Verificamos o domínio da equação:  
Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos:  
x + 2 > 0 → x > -2  
x - 2 > 0 → x > 2

Portanto, o domínio é x > 2.

7. Das soluções x = ±√14, √14 ≈ 3,74 e -√14 ≈ -3,74.  
Como x > 2, descartamos -√14.

Conclusão:  
A equação tem uma única raiz, x ≈ 3,74, que é irracional e maior que 3.

Analisando as alternativas:  
A) Uma única raiz maior que 7 → Falso (3,74  3)  
C) Duas raízes opostas → Falso (uma foi descartada pelo domínio)  
D) Uma única raiz irracional → Verdadeiro

**Resposta correta: D) A equação tem uma única raiz irracional.**

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