Para encontrar as derivadas parciais da função \( f(x, y) = -x^2 \cdot \sin(y) - x \cdot y^3 \), vamos calcular \( f_x \) e \( f_y \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \) ( \( f_x \) ): - A derivada de \( -x^2 \cdot \sin(y) \) em relação a \( x \) é \( -2x \cdot \sin(y) \). - A derivada de \( -x \cdot y^3 \) em relação a \( x \) é \( -y^3 \). - Portanto, \( f_x = -2x \cdot \sin(y) - y^3 \). 2. Derivada parcial em relação a \( y \) ( \( f_y \) ): - A derivada de \( -x^2 \cdot \sin(y) \) em relação a \( y \) é \( -x^2 \cdot \cos(y) \). - A derivada de \( -x \cdot y^3 \) em relação a \( y \) é \( -3x \cdot y^2 \). - Portanto, \( f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - 3x \cdot y^2 \). Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( f_x = -2x \cdot \cot(y) - y^3 \) e \( f_y = -x^2 \cdot \tan(y) - 3xy^2 \) - Incorreta. B) \( f_x = -x \cdot \sin(y) - y \) e \( f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - xy^2 \) - Incorreta. C) \( f_x = -2x \cdot \sin(y) - y^3 \) e \( f_y = -x^2 \cdot \cos(y) - 3xy^2 \) - Correta. D) \( f_x = -2x \cdot \sin(y) - 3y^2 \) e \( f_y = -2x \cdot \cos(y) - 6xy \) - Incorreta. E) \( f_x = -2x \cdot \cos(y) - y \) e \( f_y = -x^2 \cdot \sin(y) - 3xy^2 \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a C.