Para resolver o problema de contorno dado pela equação diferencial \(16x'' + x = 0\) com as condições \(x(0) = 4\) e \(x(2\pi) = 3\), precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação diferencial. A equação \(16x'' + x = 0\) pode ser reescrita como \(x'' + \frac{1}{16}x = 0\). Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para essa equação é da forma: \[ x(t) = A \cos\left(\frac{t}{4}\right) + B \sin\left(\frac{t}{4}\right) \] onde \(A\) e \(B\) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Agora, aplicando as condições iniciais: 1. Para \(x(0) = 4\): \[ x(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = 4 \] 2. Para \(x(2\pi) = 3\): \[ x(2\pi) = 4 \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right) + B \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = 4 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + B \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = B \] Portanto, \(B = 3\). Assim, a solução particular que atende às condições é: \[ x(t) = 4 \cos\left(\frac{t}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{t}{4}\right) \] Analisando as alternativas, a correta é: B) \(4 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + 3 \sin\left(\frac{x}{4}\right)\).