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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
1. I e III.
2. I, II e IV.
3. II e IV.
4. II e III.
5. III e IV.
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Praticando Para Aprender

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Cálculo Integral I
75 pág.

Cálculo Integral I

UNAMA

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há 8 meses

Vamos analisar cada afirmativa: I. "Se P(x)/Q(x) é uma função racional, então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P." Falso. Para que uma função racional possa ser decomposta em frações parciais, o grau de P deve ser menor que o grau de Q. Se o grau de P for maior ou igual ao grau de Q, é necessário realizar uma divisão polinomial antes da decomposição. II. "A decomposição em frações parciais é uma técnica que permite expressar funções racionais como a soma de frações mais simples." Verdadeiro. Essa afirmativa está correta, pois descreve precisamente o objetivo da decomposição em frações parciais. III. "A regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados." Verdadeiro. Essa afirmativa é correta, pois a integração de funções racionais muitas vezes requer a decomposição em frações parciais. IV. "g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2)." Para verificar isso, precisamos fatorar o denominador: \(x² + x - 2 = (x-1)(x+2)\). A decomposição proposta deve ser verificada. Se fizermos a soma das frações: \[ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+2} = \frac{2(x+2) - 1(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x + 4 - x + 1}{(x-1)(x+2)} = \frac{x + 5}{(x-1)(x+2)}. \] Portanto, essa afirmativa é verdadeira. Agora, vamos resumir os resultados: - I: Falso - II: Verdadeiro - III: Verdadeiro - IV: Verdadeiro A alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: 2. I, II e IV.

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O conhecimento acerca de métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de variações. Entender suas propriedades é de fundamental importância para que eles façam parte do repertório matemático dos estudantes.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos distintos métodos de derivação, associe os métodos a seguir com suas características: 1) Diferenciação implícita. 2) Regra da Cadeia. 3) Regra do tombo. 4) Regra do produto. ( ) Deriva-se um produto de duas funções. ( ) Deriva-se funções compostas. ( ) Deriva-se funções polinomiais. ( ) Deriva-se funções que não têm variáveis isoladas. Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 1, 4, 3, 2.
2. 2, 1, 3, 4.
3. 4, 2, 1, 3.
4. 4, 2, 3, 1.
5. 4, 1, 2, 3.

Existem diversas interpretações para as derivadas, tanto do ponto de vista geométrico quanto algébrico. As funções polinomiais são as mais simples para efetuar a derivação. Saber calculá-las é fundamental para a apreensão dos conceitos do Cálculo diferencial e integral.
Utilizando essas informações e seus conhecimentos acerca das derivadas, analise as afirmativas a seguir: I. A derivada de f(x) = x+2 é 1. II. Pode-se calcular a derivada de f(x) = 2x+2/x²-3x pela regra do quociente. III. O sinal positivo da derivada indica sua relação com um crescimento, o contrário indicaria um decrescimento. IV. A derivada de uma função composta é calculada pela regra do tombo. Está correto apenas o que se afirma em:
1. I e II.
2. II e III.
3. I e III.
4. I, II e III.
5. II, III e IV.

O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física ele é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Considere que a derivada da equação horária do movimento, S’(t), é igual à equação horária da velocidade, v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento, S’’(t), é a equação horária da aceleração, a(t).
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir: I. Em movimentos nos quais a v(t) é uma função constante, S(t) também é constante. II. Para equações horárias de 2ºgrau, a’(t) = constante. III. Se S(t) = x³ + 2x² + 2, no instante 3s a velocidade é de 39m/s. IV. Em movimentos nos quais v(t) é uma função de primeiro grau crescente, S(t) é uma função quadrática e a aceleração é variável. Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III.
2. II e IV.
3. I, II e IV.
4. I, II e III.
5. III e IV.

A independência algébrica de algumas funções delimita algumas categorias de funções. Saber reconhecer quando uma função é ou não algébrica auxilia em algumas manipulações matemáticas, tal como a derivação.
Tendo em vista os conhecimentos acerca das funções algébricas, analise as afirmativas a seguir: I. As funções algébricas são aquelas definidas apenas pelas operações básicas da álgebra. II. Existem funções explícitas não algébricas. III. As funções transcendentes são funções algébricas. IV. f(x) = ln(x) não é uma função algébrica. Está correto apenas o que se afirma em:
1. II, III e IV.
2. II e III.
3. Incorreta: I, III e IV.
4. I e IV.
5. I, II e IV.

O número de Euler está associado a diversos fenômenos da natureza, tais como um decaimento radioativo e o crescimento de uma colônia de bactérias. Porém, ele também se relaciona com questões financeiras, referentes a juros compostos.
Imagine o cenário hipotético: Uma criança de 10 anos recebe de seus pais em seu nome, inicialmente, uma quantia de R$ 100.000,00 que irá ser investida em uma determinada aplicação que renderá, em juros compostos, 10% ao ano. A família dessa criança pretende utilizar esse dinheiro para comprar uma casa para ela, quando a mesma atingir a maioridade e o dinheiro for suficiente. Supondo que o valor da casa é de R$ 500.000,00 e . Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre limite fundamental exponencial e Sistema Neperiano, pode-se afirmar que a então criança poderá comprar a casa com:
1. 20 anos.
2. 21 anos.
3. 26 anos.
4. 24 anos.
5. 23 anos.

O estudo dos diferentes tipos de funções é fundamental para um estudante de exatas. Saber suas particularidades, definições e significados multifacetados é como aprender palavras para um novo idioma, que no caso é o da matemática.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, analise as afirmativas a seguir. I. As funções explicitas são meramente algébricas. II. Existem funções implícitas que podem ser reescritas como funções explícitas. III. Uma função implícita pode ser representada por mais de uma função explícita. IV. está na forma de uma função implícita. Está correto apenas o que se afirma em:
1. III e IV.
2. I, III e IV.
3. II, III e IV.
4. II e IV.
5. I, II e IV.

O número de Euler é uma constante extremamente importante para muitas aplicações matemáticas. Esse número também é a base do logaritmo natural ou neperiano e possui diversas propriedades singulares.
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca do número de Euler e do logaritmo natural, analise as afirmativas a seguir: I. As propriedades básicas que valem para um logaritmo de base 10 também valem para um logaritmo de base e. II. f(x)= e^x é uma função exponencial. III. ln(c) não está definido quando c é um número negativo. IV. ln(0) = 1. Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III.
2. I e IV.
3. I, II e III.
4. II, III e IV.
5. Incorreta: I, III e IV.

As manipulações algébricas são extremamente importantes para a resolução de problemas matemáticos. Mudanças de perspectivas são necessárias na matemática, muitas vezes aplicadas para testar abordagens diferentes sobre o mesmo problema.
De acordo com essas informações e os conteúdos estudados sobre as definições e propriedades das funções implícitas e explícitas, e a possibilidade de reescrita entre elas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) y=2x+1 →y-2x=1. Forma explicita → forma implı́cita. II. ( ) ln(x) + x = y→ ln(x) + x – y = 0. Forma explicita → forma implıćita. III. ( ) x² + y³ = 0 → y³ =-x². Forma implícita → forma explıćita. IV. ( ) y-x=3 → y= 3+x. Forma implícita → forma explícita. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, V, F.
2. V, V, F, V.
3. V, V, F, F.
4. Incorreta: V, V, V, F.
5. F, F, V, V.

Compreender com quais categorias de funções se está lidando em um determinado problema pode auxiliar no encaminhamento para a solução. É fundamental compreender as distinções e semelhanças das funções transcendentes, explícitas e implícitas.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções transcendentes, explícitas e implícitas, associe as funções apresentadas a seguir com suas respectivas categorias: 1) y= cos(x). 2) x²+y² = 25. 3) y= 2. 4) lnx + 2y = 0. ( ) Função transcendente definida explicitamente. ( ) Função transcendente definida implicitamente. ( ) Função algébrica definida implicitamente. ( ) Função algébrica definida explicitamente. Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 1, 2, 4, 3.
2. 3, 4, 2, 1.
3. 2, 1, 3, 4.
4. 1, 4, 2, 3.
5. 4, 2, 3, 1.

O número de Euler possui diversas aplicações em ciências, como a Biologia, a Química e a Física, por exemplo.
Com base nessas informações e em seus conhecimentos sobre a relação entre limites exponenciais e o número de Euler, analise as afirmativas a seguir, com relação à veracidade das equivalências, e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) lim(1+1/x)^x = 1/e. II. ( ) O número de Euler é maior que o número racional 2,72. III. ( ) lim(1+1/x)^7x, com x tendendo ao infinito vale e^7. IV. ( ) lim(1 + h)^(1/h) = e com h tendendo a zero. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, F.
2. F, F, V, F.
3. V, V, V, F.
4. V, F, V, V.
5. F, F, V, V.

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