Para resolver a equação diferencial \(2xydx + (x^2 - 1)dy = 0\), podemos reescrevê-la na forma padrão: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2 - 1} \] Agora, vamos separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{2x}{x^2 - 1}dx \] Integrando ambos os lados, temos: \[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{2x}{x^2 - 1}dx \] A integral do lado esquerdo é: \[ \ln |y| + C_1 \] Para o lado direito, podemos usar a substituição \(u = x^2 - 1\), então \(du = 2xdx\): \[ \int -\frac{2x}{x^2 - 1}dx = -\int \frac{1}{u}du = -\ln |u| + C_2 = -\ln |x^2 - 1| + C_2 \] Assim, temos: \[ \ln |y| = -\ln |x^2 - 1| + C \] Elevando ambos os lados à base \(e\): \[ |y| = \frac{C}{|x^2 - 1|} \] Portanto, a solução geral pode ser expressa como: \[ f(x,y) = y(x^2 - 1) - C = 0 \] Agora, analisando as alternativas: A) \(f(x,y) = x^2y - y + c\) B) \(f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c\) C) \(f(x,y) = y - xy + c\) D) \(f(x,y) = xy - y + c\) A alternativa que se aproxima da forma que encontramos é a B, pois ela pode ser reescrita como: \[ f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c = (x^2 - 1 - 1)y + c = (x^2 - 2)y + c \] Portanto, a alternativa correta é: B) \(f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c\).