Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \(2xydx + (x^2 - 1)dy = 0\), podemos reescrevê-la na forma separável: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2xy}{x^2 - 1} \] Agora, vamos integrar ambos os lados. A separação das variáveis nos leva a: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{2x}{x^2 - 1}dx \] Integrando o lado esquerdo, temos: \[ \ln|y| = -\int \frac{2x}{x^2 - 1}dx \] Para o lado direito, podemos usar a substituição \(u = x^2 - 1\), o que nos dá \(du = 2xdx\). Assim, a integral se torna: \[ -\int \frac{2x}{x^2 - 1}dx = -\ln|x^2 - 1| + C \] Portanto, temos: \[ \ln|y| = -\ln|x^2 - 1| + C \] Elevando ambos os lados à potência de \(e\), obtemos: \[ |y| = \frac{C}{|x^2 - 1|} \] Assim, a solução geral pode ser expressa como: \[ f(x,y) = x^2y - y + C \] Analisando as alternativas: A) \(f(x,y) = x^2y - y + c\) - Esta opção parece correta. B) \(f(x,y) = xy - y + c\) - Não é a solução correta. C) \(f(x,y) = (x^2 - 1)y - y + c\) - Não é a solução correta. D) \(f(x,y) = y - xy + c\) - Não é a solução correta. Portanto, a alternativa correta é: A) \(f(x,y) = x^2y - y + c\).