8) Os vetores a→ = (2, -1, -3), b→ = (-1, 1, -4) e c→ = (m + 1, m, -1), determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m.

Olá Rogério,

A área de um paralelepípedo pode ser obtida pelo produto mixto. Assim, neste caso devemos igualar a determinante entre a, b e c à 42. "M" será obtido naturalmente com esse procedimento. No link está explicado com mais detalhes:

https://docs.google.com/document/d/1poY2_Ci-wdMf3e1Zw_z-wEEndISSRfm0krmcu1Gcb8s/edit?usp=sharing

Abraço!

Na resolução deste problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Geometria Analítica, mais especificamente sobre Álgebra Vetorial.

Neste contexto, sejam \(u\), \(v\), e \(w\) vetores que definem as direções das arestas de um paralelepípedo e cujos módulos são iguais às medidas destas arestas, o volume do paralelepípedo é calculado mediante equação abaixo:

\(V=|(u\times v)\cdot w|\)

No problema em questão, sabe-se que:

\(\begin{align}V&=|(a\times b)\cdot c| \\&=42 \end{align}\)

Aplicando a diferença dos vetores, resulta que:

\(\begin{align}42&=|((2,-1,-3)\times (-1,\text{ }1,-4))\cdot (m+1,\text{ m},-1)| \\&=|(\text{7, 11, 1})\cdot (m+1,\text{ }m,-1)| \\&=7\cdot (m+1)+11\cdot m+1\cdot(-1) \\&=7\cdot m+7+11\cdot m-1 \\&=18\cdot m+6 \end{align}\)

Em resumo, tem-se que \(18\cdot m + 6= 42\). Isolando \(m\) e realizando os cálculos, obtém-se que:

\(\begin{align} m&=\dfrac{42-6}{18} \\&=\dfrac{36}{18} \\&=2 \end{align}\)

Portanto, sendo o volume do paralelepído seja igual a \(42\), calcula-se que \(\boxed{m=2}\).