A regra da caA regra da cadeia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções. Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Determine a derivada da função a seguir, utilizando a regra da cadeia: F(x) = (x2 − x + 1)3: A) F'(x) = 4 (x2 − x + 1)3 (2 x − 1). B) F'(x) = 3 (x2 − x + 1)2 (3 x − 1). C) F'(x) = 3 (x2 − x + 1)2 (2 x + 1). D) F'(x) = 3 (x2 − x + 1)2 (2 x − 1).deia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções. Criada por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Determine a derivada da função a seguir, utilizando a regra da cadeia: y = xx: A) y' = xx(ln(x) + 1). B) y' = x(ln(x) + 1). C) y' = xxln(x). D) y' = xx + 1.

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A regra da caA regra da cadeia é uma técnica para resolver derivadas de uma função composta de duas funções. Criada por Gottfried Leibniz, a regra ...

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Vamos resolver a derivada da função $ F(x) = (x^2 - x + 1)^3 $ utilizando a regra da cadeia.

1. **Identificação das funções**: 
   - Seja $ u = x^2 - x + 1 $, então $ F(x) = u^3 $.

2. **Derivada da função externa**: 
   - A derivada de $ u^3 $ em relação a $ u $ é $ 3u^2 $.

3. **Derivada da função interna**: 
   - Agora, precisamos encontrar $ \frac{du}{dx} $:
   $$
   \frac{du}{dx} = 2x - 1.
   $$

4. **Aplicando a regra da cadeia**:
   - A derivada de $ F(x) $ em relação a $ x $ é:
   $$
   F'(x) = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (2x - 1).
   $$
   - Substituindo $ u $ de volta:
   $$
   F'(x) = 3(x^2 - x + 1)^2 \cdot (2x - 1).
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

A) $ F'(x) = 4 (x^2 - x + 1)^3 (2x - 1) $. (Falsa)

B) $ F'(x) = 3 (x^2 - x + 1)^2 (3x - 1) $. (Falsa)

C) $ F'(x) = 3 (x^2 - x + 1)^2 (2x + 1) $. (Falsa)

D) $ F'(x) = 3 (x^2 - x + 1)^2 (2x - 1) $. (Verdadeira)

Portanto, a alternativa correta é: **D) $ F'(x) = 3 (x^2 - x + 1)^2 (2x - 1) $**.

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