Um numero inteiro x é impar se puder ser escrito da forma 2k+1 para algum k pertencente a Z. Mostre que, se x² é ímpar, então x também é ímpar.

Suponha que x é ímpar, isto é, x= 2k + 1, para algum k ∈ Z. Temos x² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k ² + 2k) + 1 Então x² = 2k' + 1, onde k' é o inteiro igual e 2k² + 2k. Portanto, x² é ímpar.

Um número ímpar possui a seguinte expressão: \(2k+1\) para \(x\) maior que 1, basta escrevermos a equação a seguir e resolvê-la:

\(x^2=(2k+1)^2\\ x^2 = 4k^2+4k+1\\ x^2=2(2k^2+2k)+1\\ {\text{Seja }} M= 2k^2+2k\\ x^2=2M+1\\\)

Dessa maneira o quadrado de um número ímpar é ímpar, pois ele pode ser escrito no formato \(2M+1\), análogo a \(2k+1\).