Achar a area limitada pelas curvas y= x² e y=x³

Paqra econtrar a área das curvas dadas realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{x}^{3}}-{{x}^{2}}=0 \\ & x'=0 \\ & x''=1 \\ & A=\int_{0}^{1}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}} \\ & A=\left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)_{0}^{1} \\ & A=\frac{1}{4}-\frac{1}{3} \\ & A=\frac{-1}{12} \\ \end{align}\)

Portanto, a área será \(\boxed{A = \frac{{ - 1}}{{12}}}\).

A área é delimitada pela intereseção de ambas as curvas.

y = x³ e y = x²

Para encontrar a interseção, é só igualar as funções:

x³ = x² => x³/x² = 1 => x = 1

Partindo da origem até 1, integrando a função que está por cima e subtraindo a que está por baixo (note que a função y = x² é maior do que a função y = x³ enquanto x varia de 0 até 1)

A = ∫ x² - x³ dx (no intervalo de 0 a 1)
∫ x² - x³ dx =
x²/2 - x³/3
(1/2 - 1/3) - (0 - 0) = 1/6 u.a (unidades de área)

na vdd integrando x² se obtem x³/3 e integrand x³ se tem x^4/4....

então seria 1/3-1/4 = 1/12u.a 

:)