Para encontrar a matriz de transição de uma base \(\alpha\) para uma base \(\beta\) em um espaço vetorial \(V = \mathbb{R}^2\), você deve expressar os vetores da base \(\alpha\) em termos dos vetores da base \(\beta\). As bases são: - \(\alpha = \{(1, 2), (2, -1)\}\) - \(\beta = \{(1, 0), (1, 1)\}\) Vamos expressar os vetores de \(\alpha\) em termos de \(\beta\): 1. Para o vetor \((1, 2)\): - Precisamos encontrar \(x\) e \(y\) tais que: \[ x(1, 0) + y(1, 1) = (1, 2) \] Isso resulta no sistema: \[ x + y = 1 \quad (1) \] \[ y = 2 \quad (2) \] Substituindo (2) em (1): \[ x + 2 = 1 \implies x = -1 \] Portanto, \((1, 2) = -1(1, 0) + 2(1, 1)\). 2. Para o vetor \((2, -1)\): - Precisamos encontrar \(x\) e \(y\) tais que: \[ x(1, 0) + y(1, 1) = (2, -1) \] Isso resulta no sistema: \[ x + y = 2 \quad (3) \] \[ y = -1 \quad (4) \] Substituindo (4) em (3): \[ x - 1 = 2 \implies x = 3 \] Portanto, \((2, -1) = 3(1, 0) - 1(1, 1)\). Agora, podemos montar a matriz de transição \(P_{\beta \leftarrow \alpha}\) cujas colunas são os coeficientes encontrados: \[ P_{\beta \leftarrow \alpha} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Assim, a matriz de transição de \(\alpha\) para \(\beta\) é: \[ P_{\beta \leftarrow \alpha} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \] Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!