Apostila Cálculo Financeiro

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CÁLCULO FINANCEIRO 
 
 
MATERIAL DE APOIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VICTOR BURNS 
 2 
CÁLCULO FINANCEIRO 
 
 
 
AULA INICIAL................................................................................................................................. 3 
UNIDADE 1 - FUNDAMENTOS..................................................................................................... 4 
UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ........................ 12 
UNIDADE 3 – DESCONTO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.............................. 20 
UNIDADE 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .................. 27 
UNIDADE 5 – DESCONTO COMPOSTO E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ........................ 34 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ............................................................................................................ 40 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 1) ............................................................. 44 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 2) ............................................................. 50 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 3) ............................................................. 55 
UNIDADE 7 – HP12C..................................................................................................................... 60 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ............................................................................................................ 64 
UNIDADE 8 – INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA......................................................... 66 
UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 1)..................................................... 72 
UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 2)..................................................... 78 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 ............................................................................................................ 84 
UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 1)........................................................ 87 
UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 2)........................................................ 93 
UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 3)........................................................ 97 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 .......................................................................................................... 102 
LISTAS DE EXERCÍCIOS ........................................................................................................... 104 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DAS UNIDADES ................................................................. 118 
 
 
 
 
 
 3 
AULA INICIAL 
 
 
- APRESENTAÇÃO 
 
Professor: Victor Alexander Contarato Burns 
 burns@bndes.gov.br 
 61 8408 8853 
 
Disciplina: Cálculo Financeiro 
 186201 
 
 
- OBJETIVO DO CURSO 
 
O objetivo do curso de Cálculo Financeiro é apresentar ao aluno o instrumental básico da 
Matemática Financeira, bem como suas aplicações e seu relacionamento com outras disciplinas 
(em especial a Administração Financeira). São utilizadas as principais tecnologias (Excel e 
HP12C), mas o foco principal é a mecânica dos cálculos, bem como suas aplicações práticas. 
 
 
- METODOLOGIA 
 
Aulas expositivas 
Exercícios objetivos e conceituais 
Estudos de caso 
 
 
- CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
 
Prova 1 – 40% – ao fim da unidade 5 (Equivalência de Capitais) 
Prova 2 – 60% – ao fim da unidade 10 (Engenharia Econômica) 
Prova 3 – após Prova 2, opcional, para substituir a nota de uma das provas anteriores 
 
 
- BIBLIOGRAFIA 
 
Matemática Financeira – Hazzan e Pompeo 
Matemática Financeira com HP12C e Excel – Bruni & Fama 
Manual de Matemática Financeira e Exercícios (186201-2008.01) 
 
 
 
 4 
UNIDADE 1 - FUNDAMENTOS 
 
O objetivo da Matemática Financeira é avaliar as diversas oportunidades de investimentos, visando 
escolher a melhor. No entanto, como definir qual a melhor alternativa? Será que a melhor é a mais 
lucrativa? A menos arriscada? A que leva menos tempo para se pagar? 
 
Se a melhor for a mais lucrativa, precisamos, ao menos, definir o que é lucro. Se for a menos 
arriscada, devemos decidir como medir e tratar o risco intrínseco. Mas o principal é: devemos 
saber qual o nosso perfil e o que consideramos um retorno adequado. Não somos todos iguais, de 
forma que nossas expectativas também não o são. Assim, nossas ferramentas devem ser flexíveis o 
suficiente para que possamos, conforme nossos critérios, tomar decisões. 
 
A Matemática Financeira estuda os investimentos em duas dimensões. A primeira, a vertical, 
analisa o comportamento do investimento para um período. A segunda, a horizontal, analisa o 
comportamento ao longo dos períodos. A primeira determina quais os resultados esperados. A 
segunda nos permite interpretar o que são estes resultados. 
 
Para exemplificar os principais conceitos que trabalharemos, pense em uma empresa produtora de 
peças. Esta empresa apresenta os seguintes dados em determinado período: 
 
a) Número de peças vendidas: 1.000 
b) Valor de cada peça: R$ 200,00 
c) Custo de cada peça: R$ 100,00 
d) Custos fixos e outros custos: R$ 50.000,00 
 
A empresa foi lucrativa no período? Aparentemente sim, pois: 
 
Lucro = a*b – a*c – d = 200.000 – 100.000 – 50.000 = 50.000 
 
No entanto, como fica este resultado ao apresentarmos as seguintes informações? 
 
e) Capital Investido: R$ 1.000.000,00 
f) Poupança: 6% no período 
 
A empresa continua lucrativa? 
 
L = 50.000 – e*f = 50.000 – 60.000 = -10.000 
 
Se a poupança tivesse rendido 
 
g) Poupança: 4% no período, 
 
Qual seria o lucro da empresa neste período? 
 
L = 50.000 – e*g = 50.000 – 40.000 = 10.000 
 
Se, em vez de poupança, estivéssemos usando o retorno de um fundo de alto risco, extremamente 
volátil: 
 
h) Retorno do fundo: 15% no período 
 
 5 
Qual seria o resultado da empresa? 
 
L = 50.000 – e*h = 50.000 – 150.000 = -100.000 
 
Você acha esta conta correta, considerando que o retorno do fundo é extremamente volátil? 
 
Por outro lado, seguindo a mesma lógica, você acha correto comparar o retorno da empresa com a 
poupança (risco muito baixo)? 
 
Observe os dados de venda de peças pela empresa nos últimos períodos: 
 
p 1 2 3 4 5 6 
Caso 1 990 1.002 1.012 980 1.010 1.000 
Caso 2 300 1200 1700 600 400 1.000 
 
Qual caso deveria ser comparado com a poupança? E com o fundo? Qual a conclusão que 
podemos tirar deste exemplo? 
 
 
NÃO SE DEVEM COMPARAR DIRETAMENTE RETORNOS DE ATIVOS QUE 
REPRESENTEM RISCOS DIFERENTES 
 
 
Os exemplos de fatores de risco são inúmeros, podendo, por exemplo, ser de ordem gerencial 
(proprietário inexperiente x empresário competente), negocial (empresa em setor sem barreira de 
entrada x setor com barreira). 
 
 
Situação 2: 
 
Seu irmão (que ganha muito dinheiro) pede R$ 1.000,00 emprestado, para ajustar o fluxo de caixa 
dele, e pretende devolver R$ 1.000,00 em 6 meses. Você acha um bom negócio? 
 
Por que não? 
 
Suponha que você quer comprar um iPod que custa exatamente R$ 1.000,00, passou 1 ano 
economizando para comprá-lo, e seu irmão te pede este dinheiro? Você emprestaria? 
 
E se tivesse R$ 150.000,00 em dinheiro sobrando? Quanto você cobraria de juros, nos dois casos? 
 
As respostas a estas questões, embora óbvias, levam ao primeiro conceito: 
 
UTILIDADE = Investir implica deixar de consumir hoje, para consumir mais no futuro. A função 
utilidade varia de ator para ator. 
 
Você tinha R$ 1.200,00, economizados com muito suor, mas ainda assim emprestou R$ 1.000,00 
ao seu irmão. No dia seguinte, em uma promoção, o preço do iPod baixou para R$ 500,00. Como 
você se sentiria? 
 
OPORTUNIDADE= se os recursos forem limitados, a posse deles no presente permite aproveitar 
oportunidades mais rentáveis que surgirem. O custo de oportunidade varia de ator para ator, 
mediante seu perfil de risco. 
 6 
 
Por fim, vamos supor que seu irmão, em vez de ganhar muito dinheiro, não estuda, não trabalha, e 
sequer recebe mesada? Você emprestaria o dinheiro? 
 
RISCO = os planos podem não ocorrer conforme o previsto. Vários tipos de risco: Político (sinais 
confusos para o mercado, crises, barreiras protecionistas, guerras, etc.); Econômico (inflação 
disparar, crises, etc.), Negocial (concorrência, preço de matérias-primas, etc.), dentre outros. 
 
Devido a todos estes fatores, podemos depreender um dos corolários principais (talvez o principal) 
da Matemática Financeira: 
 
DINHEIRO TEM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO 
 
E isto quer dizer que: 
 
1) Só se podem comparar valores se estes estiverem referenciados na mesma data. 
2) Só se podem efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data. 
 
Definições 
 
JURO = equivale ao aluguel do dinheiro por determinado período, é expresso em unidades 
monetárias. Normalmente é identificado pelas letras J ou I (maiúsculas). 
 
TAXA DE JUROS = relação entre os juros e uma unidade de tempo – i, j, tx, retorno, 
remuneração, remuneração do capital empregado, custo de capital, r, etc. 
 
Pode ser expresso de duas formas: 
 
Taxa Percentual: 5%, 10% (am – ao mês, aa, as, aq, ab, etc.) 
Taxa Unitária: 0,05, 0,1 (am, aa, as, aq, ab, etc.) – utilizada nas fórmulas. 
 
Lembrar de SEMPRE associar uma data à taxa de juros. 
 
A taxa de juros varia de ator para ator, assim como seus componentes: 
 
 Utilidade 
Juro Oportunidade 
 Risco 
 Custo – Bancos, por exemplo 
 
Aprofundando o estudo da taxa de juros (apesar de não ser objeto desta disciplina), temos que. 
 
(1+i) = (1+r)*(1+σ)*(1+θ) 
i = taxa de juros 
r = retorno esperado 
σ = risco envolvido na operação 
θ = perda do poder aquisitivo 
 
Ou seja, a taxa de juros tem que ser grande o suficiente para remunerar o dinheiro investido, de 
forma a representar um ganho real, cobrir o risco da operação (todos os riscos identificáveis) e, 
ainda, compensar a perda do poder aquisitivo decorrente, por exemplo, da inflação. 
 
 7 
Risco x Retorno 
 
R
isc
o
 
 
 Retorno 
 
Lembrar sempre que, para cada risco incorrido, há sempre um retorno mínimo exigido pelo 
investidor, uma vez que entre dois ativos com risco semelhante, será sempre escolhido o de maior 
retorno. Quanto maior o risco, maior o retorno esperado. 
 
 
CAPITAL = quantidade de moeda que um ator tem disponível e concorda em ceder a outro, 
TEMPORARIAMENTE E MEDIANTE REMUNERAÇÃO – Valor Presente, Capital Inicial, P, 
C, VP, PV, etc. 
 
MONTANTE = resultado da aplicação do capital inicial – soma do capital com o juro – Valor 
futuro, S, VF, FV, F, etc. 
 
TEMPO = Período de capitalização – n, p. 
 
 
Relações Básicas 
 
1) VF = VP+J � J = VF-VP � VP = VF-J * 
 
* Esta relação é extremamente importante, por significar que o VP no início do período é 
rigorosamente (e em termos financeiros) igual ao VF no fim do período, ou seja, R$ 1.000 hoje 
valem exatamente R$ 1100 ao fim do período, se a taxa para este período for de 10%. 
 
 
2) J = VP*i � i = J/VP � i = (VF-VP)/VP = VF/VP - 1 
 
Fórmula 1 combinada com 2: 
 
VF = VP + VP*i � VF = VP * (1+i) ** 
 
** Esta é a fórmula mais importante do dia, e será utilizada como ponto de partida para diversos 
outros raciocínios ao longo do curso. 
 
Exemplos: 
 
1. Um capital de R$ 10.000 é aplicado por um ano à taxa de 20% aa. Qual o juro? Qual o 
montante? 
 
J = VP*i = 10.000*0,2 = 2.000 
VF = VP+J = 10.000 + 2.000 = 12.000 ou VF = VP*(1+i) = 10.000 * (1+0,2) = R$ 12.000 
 
 
 8 
2. Um investidor comprou um título no valor de R$ 12.000. Três meses depois, o mesmo título 
valia R$ 12.540. Qual o retorno do título neste período? 
 
i = VF/VP – 1 = 12.540/12.000 – 1 = 1,045 – 1 = 0,045 (4,5%) 
 
ou, com a mesma fórmula, em sua forma original 
 
VF = VP*(1+i) � 12.540 = 12.000 (1+i) � 1+i = 12.540/12.000 � i = 1,045-1 = 4,5% 
 
 
 
Fluxo de Caixa de uma Operação – Representação esquemática 
 
O fluxo de caixa é elaborado com uma linha horizontal, representando o tempo, com setas para 
cima (entradas) e para baixo (saídas) 
 
 
Ex.: Uma pessoa aplicou R$ 50 mil (VP) em um banco e recebeu R$ 6.500 (VF) de juros após 12 
meses (n). 
 
 
Ótica do aplicador: 
 
 
 56.500 
 
 12 
 
 50 mil 
 
 
 
Ótica do banco: 
 
 
 
 50 mil 
 
 12 
 
 56.500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Regimes de Capitalização 
 
Até o momento, conversamos sobre o valor do dinheiro no tempo, considerando apenas um 
período de avaliação. Ao acrescentarmos esta variável, começamos o estudo da capitalização. 
 
Os regimes de capitalização podem seguir duas lógicas: 
 
 
 Simples – juros simples 
Regimes de Capitalização 
 Composta – juros compostos 
 
 
 
 Juro constante em cada período 
Simples Igual a C * taxa 
 Juro pago ao final da operação 
 
 
 Juros do período se agregam ao C 
Composta 
 Soma passa a render juro no período seguinte 
 
 
 
 10 
Exercícios – Fundamentos 
 
 
1. Um capital de R$ 2.000 é aplicado em cada uma das condições indicadas. Obtenha o juro e o 
montante em cada caso, e desenhe o fluxo de caixa da operação. 
 
 Taxa Prazo Resposta 
a) 50%aa 1 ano 
b) 30%as 1 semestre 
c) 12%at 1 trimestre 
d) 5%ab 1 bimestre 
e) 1,7%am 1 mês 
f) 0,03%ad 1 dia 
 
 
2. Calcule o retorno obtido no período por um investidor em cada uma das situações: 
 
 VF (R$) VP (R$) Prazo Resposta 
a) 10.000 8.000 1 ano 
b) 15.000 13.500 1 semestre 
c) 7.200 6.800 1 trimestre 
d) 3.300 3.200 1 bimestre 
e) 2.420 2.400 1 mês 
f) 4.002 4.000 1 dia 
 
 
3. Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das 
situações a seguir: 
 
 VP (R$) Juro (R$) Prazo Resposta 
a) 3.500 400 1 ano 
b) 8.000 1.200 1 semestre 
c) 4.300 210 1 trimestre 
d) 5.400 220 1 bimestre 
e) 9.000 150 1 mês 
f) 6.700 2,50 1 dia 
 
 
 
 11 
4. Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações 
seguintes: 
 
 Taxa Prazo Juro (R$) Resposta 
a) 28%aa 1 ano 14.000 
b) 12%as 1 semestre 24.000 
c) 3,8%at 1 trimestre 7.600 
d) 4%ab 1 bimestre 10.800 
e) 1,8%am 1 mês 3.600 
f) 0,06%ad 1 dia 6.000 
 
 
5. Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje R$ 666,67 e receba R$ 1.000 daqui a um ano”. 
Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? Desenhe o fluxo de caixa do investimento. 
Resposta: 
 
 
 
6. Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de R$ 10.000, foi adquirido hoje por um 
fundo por R$ 9.600. Qual a taxa de rendimento do papel no período? 
Resposta: 
 
 
 
7. Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a 
taxa de rendimento do fundo no período considerado? 
Resposta: 
 
 
 
8. Um amigo pediu R$ 1.000,00 emprestado por determinado período, a uma determinada taxa de 
juros. Você tem este dinheiro e não precisa dele neste momento. No entanto, este amigo já ficou 
lhe devendo dinheiro outras vezes e você sempre perdoou a dívida. A sua decisão, dado o histórico 
do relacionamento, foi a de não emprestar o dinheiro. 
 
a) Com a sua negativa, o amigo ofereceu um computador, no valor de R$ 2.500,00 como garantia. 
Isto afetaria a sua decisão? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
b) Com a sua negativa, o amigosolicitou um valor bastante menor, R$ 50 reais. Isto afetaria a sua 
decisão? Por quê? 
 
 
 
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 UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE 
TAXAS 
 
Regime de Capitalização Simples 
 
No regime de capitalização simples, a taxa de juros incide somente sobre o valor inicialmente 
aplicado ou tomado emprestado. 
 
Ex.: R$ 100 aplicados a uma taxa de 10%, por 3 períodos: 
 
 
 $130 
 0 1 2 3 
 $10 $10 $10 
 $100 
 
 
Fórmulas 
 
Conforme visto anteriormente: 
 
J = VP*i 
 
Contudo, estamos considerando diversos períodos. Como a capitalização é simples, ou seja, o 
rendimento de um período não é somado ao capital para o cálculo do juro, podemos simplesmente 
multiplicar o juro de cada período pelo número de períodos: 
 
J = VP*i*n � n = J/VP*i � i = J/VP*n � VP = J/i*n 
 
Dedução: 
 
Qual o juro gerado por R$ 100 aplicados a 10% am em 4 meses: 
 
VP = 100 
i = 10% am 
n = 4 meses 
J = ? 
 
Utilizando a fórmula vista anteriormente: 
 
P 1: J = 100*0,10 = 10 
P 2: J = 100*0,10 = 10 
P 3: J = 100*0,10 = 10 
P 4: J = 100*0,10 = 10 
 
Soma dos J = 40 = 10+10+10+10 = 4*(10) = 4*(100*0,1) = n*VP*i 
 
 
 
 
 
 13 
Se lembrarmos de outra fórmula anterior: 
 
VF = VP + J 
 
Podemos depreender que, na capitalização simples: 
 
VF = VP + VP*i*n = VP*(1+i*n) 
 
Ou, com outra notação: 
 
S=P*(1+i*n) 
 
Isolando outras variáveis, temos: 
 
 
VP = VF/ (1+i*n) – repare que, para partir do presente para o futuro, multiplicamos. Do futuro 
para o presente, dividimos pelo mesmo fator. 
 
i = (VF/VP – 1) / n 
 
n = (VF/VP – 1) / i 
 
 
Exemplos: 
 
1. Uma aplicação de R$ 500,00 foi feita, com uma taxa de 5% am, por 5 meses, no Regime de 
Capitalização Simples. Qual o valor dos juros mensais? E os juros totais? E o valor da retirada, ao 
final dos 5 meses? 
 
VP = R$ 500 
i = 5% am 
n = 5 meses 
J mensal = ? 
J = ? 
VF = ? 
 
Juros mensais: Jm = VP*i = 500*0,05 = R$ 25,00 
Juros totais: J = n*Jm = R$ 125 = J C*i*n = 500*0,05*5 = R$125 
Retirada: VF = VP + J = 500 + 125 = R$625 = VP*(1+i*n) = 500*(1+0,05*5) = R$ 625 
 
2. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 750, após 5 
meses, a uma taxa de 10% am. Qual o capital inicial da operação? 
 
VF = R$ 750,00 
VP = ? 
i = 10% am 
n = 5 
 
VP = VF/ (1+i*n) = 750/(1+0,1*5) = R$ 500,00 
 
 
 
 14 
3. O valor de R$ 200 foi aplicado por 5 meses, resultando em um total de R$ 400 ao fim do 
período. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juro mensal 
praticada. 
 
i = (VF/VP – 1) / n = (400/200 – 1)/5 = 0,20 = 20% am 
 
 
4. Qual o valor futuro de uma aplicação de R$ 1000 feita a uma taxa de 3% at, no regime de juros 
simples, durante 1,5 anos? 
 
Repare que a taxa de juros é trimestral, enquanto o prazo foi especificado em anos. 
 
VF = ? 
VP = R$ 1000 
i = 3% at 
n = 1,5 anos = 6 trimestres 
 
VF = VP*(1+i*n) = 1000*(1+0,03*6) = 1000*1,18 = R$ 1.180 
 
 
TAXAS DE JUROS E NÚMERO DE PERÍODOS DEVEM ESTAR SEMPRE NA MESMA 
BASE 
 
Sugestão: Sempre que possível, altere o número de períodos (n), evitando alterar a taxa (i). 
 
 
Equivalência de Taxas 
 
A conversão dos períodos é intuitiva, e pode ser feita sem nenhuma dificuldade. No entanto, a 
conversão das taxas é um pouco menos óbvia, e, portanto, deve receber um pouco mais de atenção. 
 
Duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um 
mesmo prazo, derem juros iguais. 
 
J = VP*i*n (situação 1) 
J2 = VP*i2*n2 (situação 2) 
 
Se as taxas são equivalentes, J = J2: 
 
J = J2 � VP*i*n = VP*i2*n2 � i*n = i2*n2 
 
Lembrando que os períodos têm que ser equivalentes, ou seja, devem representar a mesma 
quantidade de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
 
Exemplos: 
 
1. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% am? 
 
Temos: 
 
i = 1% am 
n = 12 meses (lembrem que estamos procurando a taxa anual, para tanto temos que trazer o 
período para a quantidade de tempo, no caso, um ano) 
 
i2 = ? 
n2 = 1 ano 
 
i*n = i2*n2 � 0,01*12 = i2*1 � i2 = 0,12 = 12% aa 
 
Em juros simples, a taxa de 1% am é equivalente à taxa de 12% aa. 
 
2. Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% at? 
 
i = 9% at 
n = 1 trimestre (1 trimestre = 3 meses) 
 
i2 = ? 
n2 = 3 meses 
 
0,09*1 = i2*3 �i2 = 0,03 = 3% am 
 
3. Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o 
capital aplicado foi de R$ 5.000, e que o valor de resgate foi de R$ 5.525,00 após 7 meses? 
 
VP = R$ 5.000 
VF = R$ 5.525 
n = 7 meses 
i = ? 
 
Calculando i: 
 
i = (VF/VP – 1) / n = (5525/5000 – 1)/7 = 0,015 am = 1,5% am 
 
Com isto: 
 
i = 1,5% am 
n = 12 meses (queremos a taxa anual) 
 
i2 = ? 
n2 = 1 ano 
 
0,015*12 = i2*1 �i2 = 0,18 = 18% aa 
 
 
 
 
 16 
 
Juro exato ou comercial 
 
A conversão de taxas deve levar em conta qual a convenção para a contagem de tempo que está 
sendo utilizada, se exata ou comercial. 
 
Exata – Considera o ano civil, que tem 365 (ou 366 dias), e cada mês com seu número real de dias. 
 
Comercial – Considera o ano comercial, que tem 360 dias, e o mês comercial, que tem 30 dias. 
 
Os juros conforme a primeira convenção são chamados de juros exatos, e, conforme a segunda, de 
juros comerciais. Em geral, utiliza-se a segunda convenção. 
 
 
Valor Nominal ou Valor Atual (Presente) 
 
Valor nominal (N) = valor na data de vencimento 
Valor atual (V) = valor aplicado a juros simples, em uma data anterior até a data de vencimento e 
que proporcione montante igual ao valor nominal 
 
Fórmula: V + Vin = N � N = V(1+in) – esta fórmula não lembra aquela da capitalização simples? 
 
Exemplos 
 
1. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 11.000 a ser paga em 5 meses. Quanto ela deve aplicar hoje, 
a 2% am, para poder pagar a dívida no seu vencimento? 
 
V = ? 
N = R$ 11.000 
i = 2% am 
n = 5 meses 
 
V+V(0,02*5) = 11.000 � V = 11.000/1,1 = 10.000,00 
 
A pessoa deve aplicar hoje o valor de R$ 10.000,00. 
 
2. Um investidor adquiriu um título por R$ 17.000, com valor de resgate de R$ 20.000, com prazo 
de vencimento igual a 12 meses. 
a) Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples? 
 
i = 20.000/17.000 – 1 = 17,65% no período (12 meses) 
 
Calculando a taxa mensal: 
 
i = 17,65% 
n = 1 período 
 
i2 = ? 
n2 = 12 meses (1 período) 
 
i2 = 17,65%/12 = 1,47% am 
 
 
 17 
 
b) Seis meses antes do vencimento, o investidor precisou vender o título. Nesta data, a taxa de 
juros para a aplicação caiu para 1,3% am. Qual o preço de venda do título? 
 
V = ? 
N = R$ 20.000 
i = 1,3% am 
n = 6 meses 
 
V = N/(1+in) = 20.000 /(1+0,013*6) = 18.552,88 
 
O valor pago pelo título, a 6 meses do vencimento, foi R$ 18.552,88. 
 
 18 
Exercícios – Capitalização Simples e Equivalência de Taxas 
 
 
1. Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições. 
 
 Capital (R$) Taxa Prazo Resposta 
a) 2.000,00 1,2%am 5 meses 
b) 3.000,00 21%aa 2 anos 
c) 2.000,00 1,3%am 3 anos 
d) 6.000,00 15% at 2,5 anos 
 
2. Determine o montante obtido por juros simples nas seguintes condições. 
 
 Capital (R$) Taxa Prazo Resposta 
a) 5.000,00 2%am 3 meses 
b) 4.000,00 13%aa 2 anos 
c) 2.000,00 0,1%ad 30 dias 
d) 3.000,00 10% at 2,5 anos 
 
3. Determine o prazo de cada aplicação a juros simples nas seguintes condições. 
 
 Capital (R$) Taxa Montante (R$) Respostaa) 5.000,00 3%am 5.750 
b) 4.000,00 10%aa 6.800 
c) 2.000,00 0,15%ad 2.135 
d) 3.000,00 10% at 4.500 
 
 
4. Determine a taxa de juros simples de cada aplicação nas seguintes condições. 
 
 Capital (R$) Prazo Montante (R$) Resposta 
a) 5.000,00 6 meses 6.050 
b) 4.000,00 10 anos 7.200 
 19 
c) 2.000,00 30 dias 2.060 
d) 3.000,00 7 trim. 4.680 
 
5. Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: 
 
a) 1,5% am d) 4,5% aq 
b) 2,5% ab e) 6,5% as 
c) 3,5% at 
 
 
 
 
 
 
6. Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000 à taxa de 35% aa pelo prazo 
de 7 meses. 
 
 
 
 
7. Um capital de R$ 5.000 foi aplicado a juros simples à taxa de 24%aa. 
a) Qual o montante após 6 meses? 
 
 
 
 
b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital 
inicialmente empregado? 
 
 
 
8. Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% am, mas 
o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro 
auferido. 
a) Qual o montante líquido (após o pagamento do imposto) de uma aplicação de R$ 4.000? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de R$ 3.600? 
 
 
 
 20 
UNIDADE 3 – DESCONTO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE 
CAPITAIS 
 
Desconto Simples é o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições, 
utilizando as premissas da capitalização simples. 
 
Normalmente representa o recebimento antecipado de valores futuros (títulos de crédito, como, por 
exemplo, notas promissórias ou cheques pré-datados). 
 
Como o dinheiro tem um custo associado ao tempo, a mesma lógica que leva o valor presente para 
o futuro deve ser utilizada para trazer um valor futuro ao presente. Os juros estão relacionados à 
capitalização, e o desconto se relaciona com a descapitalização. 
 
Sinônimos utilizados nas operações de desconto: 
 
Valor presente = Valor líquido = Valor descontado = Vd 
Valor nominal = Valor futuro = Valor de face = N 
Taxa de desconto = d 
Desconto = D 
 
Exemplo: 
 
1. Um comerciante vende determinado produto por R$ 50, para pagamento em 40 dias. No entanto, 
se o pagamento for efetuado à vista, há um desconto de 10%. Qual o valor de cada unidade? 
 
Preço = R$ 50,00 
Taxa de desconto = 10% 
Desconto = 50*10% = R$ 5,00 
 
Cada unidade passa a custar, para pagamento à vista, R$ 45,00. 
 
Desconto comercial / bancário (por fora) 
 
Nas operações de desconto comercial e bancário, os juros incidem sobre o valor futuro da 
operação. 
 
D = VF*d*n 
 
Temos que: 
 
VP = VF – D = VF – VF*d*n = VF*(1–d*n) 
 
Reparem que esta forma de desconto foi desenvolvida utilizando a mesma lógica que usamos para 
determinar as relações de capitalização simples, mas não é uma decorrência direta dela. 
 
Variações da fórmula, isolando as demais variáveis: 
 
VP = VF*(1-d*n) � VF = VP/(1-d*n) � i = (1-VP/VF)/n � n = (1-VP/VF)/i 
 
 
 21 
Do exemplo anterior: 
 
VF = R$ 50,00 
d = 10% a cada 40 dias 
n = 1 período de 40 dias 
VP = ? 
 
VP = VF*(1-d*n) = 50*(1-0,1*1) = 50*0,9 = R$ 45,00 
 
Exemplos: 
 
1. Uma duplicata de R$ 18.000 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a 
uma taxa de desconto comercial de 2,5% am. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, o 
desconto, o fluxo de caixa e a taxa efetiva de juros da operação. 
 
VF = R$ 18.000 
d = 2,5% am 
n = 2 
VP = ? 
D = ? 
 
VP = VF*(1-d*n) = 18.000 (1-0,025*2) = 18.000*0,95 = R$ 17.100 
 
D = VF – VP = 18.000 – 17.100 = R$ 900 
 
Utilizando a fórmula de capitalização simples, para o cálculo da taxa efetiva de juros da operação.: 
 
VF = VP*(1+i*n) 
i = (VF/VP-1)/n 
i = (18/17,1-1)/2 = 0,0526/2 = 0,0263 = 2,63%am 
 
Por que a taxa de juros foi diferente da taxa de desconto? Porque a primeira incide sobre PV para 
dar R$ 900,00, enquanto a segunda incide sobre FV para dar os mesmos R$ 900,00. 
 
2. Uma nota promissória de R$ 12.000 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a 
uma taxa de desconto comercial de 2% am. 
a) Qual o desconto? 
D = VF*d*n 
 
D = ? 
VF = R$ 12.000 
d = 2% am 
n = 42 dias 
 
Convertendo a taxa: 
n = 30 dias 
d = x% ad 
n2 = 1 m 
d2 = 2%am 
 
dn = d2n2 � d = 2%/30 ad 
 
A conversão da taxa de desconto simples é igual à conversão da taxa de juros simples. 
 22 
Aplicando à fórmula: 
 
D = 12.000 * 0,02/30 * 42 = R$ 336,00 
 
b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço 
de 0,5% do valor da promissória, pago no dia em que a empresa a descontou? 
 
Tx de serviço = 0,5%*12.000 = R$ 60 
VP = 12.000 – 336 – 60 = R$ 11.604 
 
c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período? 
 
VF = VP(1+in) 
12000 = 11604 (1+i*1) 
i = 12000/11604 – 1 = 3,41% ao período 
 
 
Desconto Bancário 
 
O desconto bancário é similar ao comercial, com a diferença de que prevê a cobrança de uma taxa 
sobre a operação. De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto mais uma taxa 
prefixada que incidirá sobre o valor nominal, conforme mostrado no exercício anterior: 
 
Db = Dc + t*VF 
 
Em que t representa a taxa prefixada. 
 
 
Desconto Racional (por dentro) 
 
No desconto racional, a taxa de juros incide sobre o valor presente. 
 
Representa a aplicação direta da fórmula dos juros simples, com o objetivo de encontrar o valor 
presente, ou seja: 
 
Fórmula dos juros simples: 
 
VF = VP * (1+ i*n) 
 
Logo: 
 
VP = VF/(1 + i*n) 
 
Como 
 
D = VF – VP, 
 
Temos: 
 
D = VF – VF/(1+i*n) 
 
 
 23 
Exemplo: 
 
1. Um título, com valor nominal de R$ 500, com vencimento programado para daqui a três meses, 
foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização 
simples, a uma taxa de 4,5% am, calcule o desconto e o valor líquido recebido. 
 
VF = 500 
n = 3 meses 
d = 4,5% am 
 
D = VF-VF/(1+in) = 500 – 500(1+0,045*3) = 500 – 440,53 = 59,47 
 
VP = VL = 440,53 
 
Se tentarmos calcular, como nos exemplos dos exercícios com desconto comercial, a taxa efetiva, 
veremos que encontraremos exatamente a taxa inicial, como era esperado devido a tratar-se da 
mesma fórmula. 
 
Equivalência de capitais – Capitalização Simples 
 
Dois ou mais capitais nominais são ditos equivalentes quando, mediante a aplicação da mesma 
taxa de juros, seus fluxos de capitais somados igualam-se na mesma data focal. 
 
Deve-se especificar o tipo de desconto, pois o resultado da operação de desconto em juros simples 
depende da modalidade adotada. 
 
Data focal é a data considerada como base para comparação dos valores referidos a diferentes 
datas. 
 
Exemplo: 
 
1. Sejam os dois fluxos de caixa seguintes 
 
Mês Fluxo 1 Mês Fluxo 2 
1 110,00 3 65,00 
2 120 6 240,00 
 
Para verificar se estes fluxos são equivalentes mediante o desconto racional simples a uma taxa 
igual a 10% am na data focal zero, basta calcular o valor presente de cada um dos valores nominais 
apresentados, somando-os posteriormente. Se as somas forem iguais, os fluxos são equivalentes. 
 
Utilizando a fórmula do desconto racional, temos: 
 
VP = VF/(1+in) 
 
VP1 = 110/(1+0,1*1) = 100,00 VP3 = 65/(1+0,1*3) = 50,00 
VP2 = 120/(1+0,1*2) = 100,00 VP6 = 240/(1+0,1*6) = 150,00 
Soma dos VPs = 200,00 Soma dos VPs = 200,00 
 
Repare que, utilizando os mesmos dados do exemplo, mas considerando mediante o desconto 
comercial simples, a conclusão a que chegamos é diferente: 
F1 = 99 + 96 = 195 
F2 = 45,50 + 96 = 141,50 
 24 
Exercícios – Desconto Simples e Equivalência de Capitais1. Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial 
de 3%am. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: 
 
a) Um mês. 
 
 
 
 
b) Dois meses. 
 
 
 
 
2. Um duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000 foi descontada em um banco dois meses antes 
de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% am. Obtenha: 
 
a) O desconto comercial. 
 
 
 
 
b) O valor descontado do título. 
 
 
 
 
c) A taxa efetiva de juros no período. 
 
 
 
 
d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 
 
 
 
 
 
 
3. Uma promissória foi de R$ 20.000 foi descontada em um banco três meses antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% am. Obtenha: 
 
a) O desconto comercial (por fora). 
 
 
 
 
b) O valor atual comercial do título. 
 
 
 
 25 
c) A taxa efetiva de juros no período. 
 
 
 
 
d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. 
 
 
 
 
4. Numa operação de desconto com prazo de 4 meses, o valor presente de um título é igual a 82% 
de seu valor de resgate. Determine a taxa anual de desconto racional desta operação, no regime de 
juros simples. 
 
 
 
 
 
 
5. O valor de resgate de um título, em seu vencimento, é igual a 108 vezes o valor de seu desconto 
racional com uma taxa de 28% aa. Determine o prazo em dias desta operação de desconto racional, 
no regime de juros simples, assumindo-se ano com 360 dias. 
 
 
 
 
 
 
6. Com base nos números apresentados nas tabelas seguintes, verifique se os fluxos de caixa são 
equivalentes, usando o desconto racional. Considere a data focal zero e i = 10% ap. 
 
Fluxo 1 Fluxo 2 
t VF t VF 
2 150,00 3 200,00 
4 72,54 4 100,00 
6 400,00 6 300,00 
8 750,00 8 877,00 
 
 
 
 
 
 
 
7. Com base nos mesmos dados do exercício anterior, verifique se os fluxos de caixa são 
equivalentes, usando o desconto comercial. Explique a diferença. 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
8. Considere os dados das empresas abaixo nos 5 períodos: 
 
A tabela “Empresa 1+2” representa os resultados projetados da empresa resultante de uma fusão 
entre as empresas 1 e 2. Se você fosse o executivo responsável pela decisão de fundir as empresas, 
qual seria a sua posição, utilizando o desconto racional simples, com uma taxa de desconto de 10% 
e data focal zero? Explique. 
 
 
Empresa 1 1 2 3 4 5 
Qtdade. Vendida 100 110 130 120 150 
Preço Unitário 50 50 60 65 70 
Receita Total 5000 5500 7800 7800 10500 
Custo Unitário 30 35 35 40 40 
CDT 3000 3850 4550 4800 6000 
Custos fixos 1100 1100 1100 1100 1100 
Resultado 900 550 2150 1900 3400 
 
Empresa 2 1 2 3 4 5 
Qtdade. Vendida 130 120 100 80 70 
Preço Unitário 70 70 75 75 75 
Receita Total 9100 8400 7500 6000 5250 
Custo Unitário 45 45 50 50 50 
CDT 5850 5400 5000 4000 3500 
Custos fixos 1500 1500 1600 1600 1600 
Resultado 1750 1500 900 400 150 
 
Empresa 1+2 1 2 3 4 5 
Qtdade. Vendida 230 230 230 200 220 
Preço Unitário 60 60 65 70 70 
Receita Total 13800 13800 14950 14000 15400 
Custo Unitário 35 35 40 40 45 
CDT 8050 8050 9200 8000 9900 
Custos fixos 2500 2400 2350 2400 2400 
Resultado 3250 3350 3400 3600 3100 
 
 
 
 
 27 
UNIDADE 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA E EQUIVALÊNCIA 
DE TAXAS 
 
Nos juros compostos, conforme visto anteriormente, os juros do período se agregam ao capital 
para o cálculo dos juros do período seguinte. 
 
Considerando R$ 100 aplicados à taxa de 10%am, pelo período de 4 meses, no regime de 
capitalização composta: 
 
N VP J (=VP*i) VF (=VP+J) 
1 100 10 110 
2 110 11 121 
3 121 12,1 133,1 
4 133,1 13,31 146,41 
 
Utilizando somente fórmulas para retratar o que aconteceu: 
 
N VP J (=VP*i) VF (=VP+J) 
1 VP VP*i VP+VP*i = VP(1+i) 
2 VP(1+i) VP(1+i)*i VP(1+i)+ VP(1+i)*i = VP(1+i)(1+i) = VP(1+i)2 
3 VP(1+i)2 VP(1+i)2*i VP(1+i)2 + VP(1+i)2*i = VP(1+i)2(1+i) = VP(1+i)3 
N ... ... VP(1+i)n 
 
Ou seja, a fórmula principal do juro composto é 
 
VF = VP*(1+i)n 
 
E suas fórmulas decorrentes: 
 
VP = VF/(1+i)n 
 
i = (VF/VP)1/n - 1 
 
n = LN (VF/VP)/LN (1+i) 
 
A demonstração da fórmula para cálculo do n é um pouco menos óbvia que as demais: 
 
VF = VF*(1+i)n 
(1+i)n = VF/VF 
 
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, temos: 
 
LN (1+i)n = LN (VF/VF) 
n*LN (1+i) = LN (VF/VF) 
n = LN (VF/VF) / LN (1+i) 
 
Os LN dos valores encontrados podem ser obtidos facilmente com o uso de qualquer calculadora, 
ou por meio do uso de uma tábua de logaritmo. 
 
 
 28 
Exemplos: 
 
1. Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durantes três meses, à taxa de 2% am. 
a) Qual o montante? 
VF = R$ 6.000 
n = 3 meses 
i = 2% am 
VF = ? 
 
VF = VF (1+i)n 
VF = 6.000 (1+0,02)3 = 6.367,25 
 
b) Qual o total de juros auferidos? 
 
VF = VF + J 
J = VF – VF = 6.367,25 – 6000 = R$ 367,25 
 
2. Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% am, produz um montante de R$ 3.500 
após um ano? 
 
VF = 3.500 
i = 2,5%am 
n = 12 meses 
VF = ? 
 
VF = VF/(1+i)n 
VF = 3500/(1+0,025)12 = R$ 2.602,42 
 
3. Um capital de R$ 2.500 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um 
montante de R$ 3.500. Qual a taxa de juros? 
 
VF = 3.500 
VF = 2.500 
n = 4 meses 
i = ? 
 
i = (VF/VF)1/n - 1 
i = (3500/2500)1/4 – 1 = 0,0878 = 8,78% am 
 
4. Durante quanto tempo um capital de R$ 1000 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 
10% aa para resultar em um montante de R$ 1.610,51? 
 
VF = 1.610,51 
VF = 1.000 
i = 10% aa 
n = ? 
 
n = LN (VF/VF)/LN (1+i) 
n = LN (1610,51/1000) / LN (1,1) = LN (1,61051) / LN (1,1) = 0,476551/0,09531 = 5 anos 
 
 
 
 
 29 
Convenções linear e exponencial 
 
Devido a uma relativa dificuldade em realizar cálculos com períodos não inteiros, antigamente se 
utilizava, por convenção, a convenção linear, ou seja, considerava-se a incidência de juros 
compostos durante os períodos inteiros de capitalização e a incidência de juros simples durante os 
períodos fracionários de capitalização. 
 
Uma fórmula para descrever esta relação pode ser: 
 
VF = VP(1+i)m*(1+i*r/s) 
 
Em que m representa a parte inteira do período e r/s o período fracionário de capitalização. 
 
No entanto, com a facilidade de acesso a novas tecnologias para cálculo financeiro, a convenção 
linear caiu em desuso e passou-se a adotar como padrão a convenção exponencial, que considera 
capitalização composta para todo o período, inclusive na parte fracionária (VF = VP(1+i)n). 
 
 
Equivalência de Taxas 
 
Conforme visto anteriormente, em capitalização simples, duas taxas são equivalentes a juros 
simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. 
 
A mesma lógica vale para o juro composto, ou seja, duas taxas de juros a períodos diferentes serão 
equivalentes quando gerarem o mesmo valor futuro (ou juro), tendo sido aplicadas sobre o mesmo 
capital: 
 
VF1 = VF2 
 
VP1(1+i1)n1 = VP2(1+i2)n2 
 
Como VP1 = VP2, 
 
(1+i1)n1 = (1+i2)n2 
 
Lembrando que a mecânica de cálculo é a mesma já vista para juros simples. 
 
Exemplos: 
 
1. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2%am? 
 
i1 = 2%am i2 = ? %aa 
n1 = 12 meses n2 = 1 ano 
 
(1+i1)n1 = (1+i2)n2 
(1+0,02)12 = (1+i2)1 
i2 = (1,02)12 – 1 = 0,2682 = 26,82% aa 
 
O mesmo resultado seria obtido se houvéssemos utilizado qualquer outro prazo. 
 
 
 
 
 30 
Capitalização composta com taxas de juros variáveis 
 
A premissa de alguns fluxos de caixa é a variabilidade de suas taxas de juros, como, por exemplo, 
fundos de ações e outros instrumentos.Para calcular a rentabilidade do fluxo, utilizamos a mesma dedução da fórmula inicial de juros 
compostos: 
 
VF = VP* (1+i)n = VP*(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)…. 
 
Considerando taxas de juros variáveis ao longo dos períodos, é fácil deduzir que: 
 
VF = VP* (1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) (1+i6), e assim por diante. 
 
Exemplo: 
 
1. Em três meses consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu, respectivamente, 1,3%, 1,7% e 
2,1%. Se o capital aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 16.000,00, pede-se: 
 
a) O montante ao final do terceiro mês 
 
VF = VP* (1+i1) (1+i2) (1+i3) = 16.000 * (1,013)(1,017)(1,021) = 16.829,69 
 
b) A taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre 
 
i = VF/VP – 1 = 16.829,69/16.000 – 1 = 0,0519 = 5,19% no trimestre 
 
 
Taxa Nominal x Taxa Efetiva 
 
Algumas vezes, o período da capitalização (formação dos juros) não coincide com o período da 
taxa. Quando isto ocorre, convencionou-se adotar a taxa por período de capitalização (taxa efetiva) 
como sendo proporcional à taxa considerada (nominal). 
 
Exemplo: 
 
1. Um capital de R$ 1000 foi aplicado durante 1 ano à taxa de 12% aa, no regime de juros 
compostos, mas com capitalização mensal dos juros. Qual o montante? 
 
Tx. Nominal = 12% aa 
Tx. Efetiva = 12%/12 = 1% am = 12,683%aa 
 
VF = VP (1+i)n = 1.126,83 
 
2. Um capital de R$ 5.000 é aplicado durante 8 meses a juros compostos à taxa de 36% aaccm (ao 
ano com capitalização mensal). Qual o montante? 
 
Tx Nominal = 36%aa 
Tx Efetiva = 36%/12 = 3%am = 42,576%aa 
 
VF = VP (1+i)n = 5000*(1,03)8 = 6.333,85 
 
 
 31 
Capitalização Contínua 
 
A tabela abaixo representa um capital de R$ 1.000, aplicado à taxa de 12%aa, durante um ano, 
representando vários tipos de capitalização: 
 
Tipo Taxa Efetiva Taxa Efetiva (aa) Montante 
Anual 12% aa 12,000%aa 1.120,00 
Semestral 12%/2 as 12,360%aa 1.123,60 
Trimestral 12%/4 at 12,551%aa 1.125,51 
Mensal 12%/12 am 12,683%aa 1.126,83 
Diária 12%/360 ad 12,747%aa 1.127,47 
Horária 12%/8.640 ah 12,750 1.127,50 
 
Repare que só chegamos até a capitalização horária, mas nada nos impede de buscarmos a 
capitalização por minuto, por segundo, etc. No limite, podemos pensar em uma capitalização 
contínua. 
 
Se houver k capitalizações ao longo do ano, a fórmula do montante será: 
 
VF = VF*(1+i/k)k 
 
À medida que k cresce, o montante cresce indefinidamente. No entanto, trazendo do Cálculo 
Diferencial, o limite da função 
 
f(x) = (1+m/x)x 
 
, quando x tende ao infinito, é igual a em . A variável e representa o número de Euler, e vale, 
aproximadamente, 2,718282. 
 
Logo, uma fórmula genérica para o cálculo do montante com capitalização contínua é: 
 
VF = VF * ei 
 
Sendo i a taxa nominal. Se formos considerar mais de um período de capitalização, temos: 
 
VF = VF * ein 
 
Exemplo: 
 
1. Um capital de R$ 5.000 é aplicado à taxa de 10%as, durante dois anos, com capitalização 
contínua. Qual o montante? 
 
VF = VF * ei 
VF = 5000 
i = 10%as 
n = 4 (dois anos = 4 semestres) 
 
VF = 5000* e0,1*4 = 7.459,12 
 
 32 
 Exercícios – Capitalização Composta e Equivalência de Taxas 
 
 
1. Calcule o montante, em juros compostos, das aplicações abaixo: 
 
C i n S 
 5.000,00 14,0%aa 2 anos 
 2.100,00 8,0%as 5 semestres 
 4.000,00 5,0%at 3 trimestres 
 2.500,00 6,0%am 4 meses 
 3.000,00 0,1%ad 20 dias 
 
2. Calcule a taxa de juros, em juros compostos, das aplicações abaixo: 
 
S C n i 
 6.384,50 5.000,00 2 anos 
 3.838,88 2.100,00 7 semestres 
 4.679,43 4.000,00 4 trimestres 
 3.506,38 2.500,00 5 meses 
 3.313,87 3.000,00 10 dias 
 
3. Calcule o capital inicial, em juros compostos, das aplicações abaixo: 
 
S n i C 
 9.248,00 2 anos 36,0%aa 
 3.304,39 4 semestres 12,0%as 
 4.638,77 6 trimestres 2,5%at 
 3.933,80 4 meses 12,0%am 
 3.380,88 15 dias 0,8%ad 
 
4. Calcule o número de períodos, em juros compostos, das aplicações abaixo: 
 
S C i n 
 7.689,50 3.500,00 30,0%aa 
 5.028,39 2.500,00 15,0%as 
 2.837,04 2.000,00 6,0%at 
 4.900,17 4.000,00 7,0%am 
 2.817,06 2.500,00 1,0%ad 
 
5. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% am, para 
que duplique? 
 
 
6. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: 
a) 1,8% am c) 4,5% at 
b) 2,5% ab d) 18% as 
 
 
 
 
 
 
 33 
7. Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% am? 
 
 
 
 
 
8. Um banco empresta recursos a uma taxa de juros compostos de 20%as, com capitalização 
trimestral. Qual o montante a ser pago por um empréstimo de R$ 6.000 pelo prazo de 9 meses? 
 
 
 
 
 
9. O que é melhor, aplicar R$ 6.000 a juros compostos à taxa de 36%aaccm ou aplicar o mesmo 
valor a juros simples à taxa de 3,5%am, sabendo que o prazo da aplicação é um ano e meio? 
 
 
 
 
 
 
10. O Banco A oferece empréstimos pessoais por um ano a juros compostos, sendo a taxa de 18% 
aa. O Banco B, pelo mesmo empréstimo e prazo, cobra juros compostos à taxa de 9,6% aa, 
capitalizados mensalmente. 
 
a) Para um tomador de empréstimos por um ano, qual dos bancos é preferível? 
 
 
 
 
 
 
b) Qual deveria ser a taxa nominal do Banco B para que fosse indiferente para o tomador a escolha 
do banco? 
 
 
 
 
 
 
 34 
UNIDADE 5 – DESCONTO COMPOSTO E EQUIVALÊNCIA DE 
CAPITAIS 
 
Desconto composto é o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições, 
utilizando as premissas da capitalização composta. 
 
Seguindo a mesma lógica de aplicação que o desconto simples, é utilizado para calcular a 
antecipação de um fluxo financeiro, ou para movimentá-lo do futuro para o presente. 
 
O desconto composto também pode, tal qual o desconto simples, ser de duas formas: comercial 
(por fora) ou racional (por dentro). No desconto simples, a forma mais utilizada é a de desconto 
comercial. Já para o desconto composto, a referência é o desconto racional (alguns livros sequer 
mencionam o desconto comercial composto). 
 
As variáveis também recebem a mesma denominação, ou seja: 
 
Valor presente = Valor líquido = Valor descontado = Vd 
Valor nominal = Valor futuro = Valor de face = N 
Taxa de desconto = d 
Desconto = D 
 
 
 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
 
Embora pouco comum, o desconto comercial composto implica a incidência de sucessivos 
descontos sobre o valor nominal. O valor líquido pode ser definido como: 
 
VP = VF (1-i)n 
 
E o desconto, a diferença entre os valores futuro e presente: 
 
D = VF-VP 
 
Exemplo: 
 
Uma duplicata no valor de R$ 8.000 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma 
taxa de desconto comercial composto igual a 3%am. Calcule o valor líquido da operação e o 
desconto sofrido pelo título. 
 
VF = 8000 VP = VF (1-i)n = 8000(1-0,03)4 = 7.082,34 
d = 3%am 
n = 4 D = VF-VP = 8000-7082,34 = 917,66 
VP = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
Desconto Racional Composto (por dentro) 
 
Trata-se da aplicação direta da fórmula básica de juros compostos, para cálculo do valor presente, 
ou seja: 
 
VF = VP (1+i)n 
 
VP = VF/(1+i)n 
 
Como: 
 
D = VF – VP, 
 
D = VF – VF/(1+i)n 
 
 
Exemplos: 
 
1. Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 600, descontado cinco meses antes 
do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4%am. 
 
VF = 600 D = VF – VF/(1+i)n 
n = 5 meses D = 600 – 600/(1+0,04) 5 
i = 4% am D = 106,84 
D = ? 
 
 
2. Determine o valor do desconto racional, no regime de juros compostos, de um título de R$ 
40.000,00, com vencimento no prazo de 85 dias, a uma taxade juros de 1% ao mês, assumindo-se 
ano comercial. 
 
VF = 40.000 i1 = 1%am i2 = ? 
n = 85 dias n1 = 1 mês n2 = 30 dias 
i = 1%am (1+i1)n1 = (1+i2)n2 
D = ? i2 = 0,0331733% ad 
 
 D = VF – VF/(1+i)n 
 D = 40000 – 40000/(1,000331733)85 = 1.111,96 
 
Alternativamente, pode-se converter o prazo, em vez da taxa. 
 
 
3. Uma empresa possui uma nota promissória com vencimento programado para 90 dias e valor 
nominal igual a R$ 34.000. Se a empresa descontasse este título com desconto racional composto, 
a uma taxa de 5% am, qual seria o valor líquido recebido? 
 
VF = 34000 VP = VF/(1+i)n 
n = 90 dias = 3 meses VP = 34000/(1,05)3 
i = 5%am VP = 29.370,48 
VP = ? 
 
 
 
 36 
Equivalência de Capitais 
 
Assim como foi visto para juros simples, dois ou mais capitais nominais são ditos equivalentes 
quando, mediante a aplicação da mesma taxa de juros, seus fluxos de capitais somados igualam-se 
na mesma data focal. Data focal é a data considerada como base para comparação dos valores 
referidos a diferentes datas. 
 
Em juros simples, era necessário especificar o tipo de desconto a ser utilizado. No regime de juros 
compostos, a forma de desconto será sempre a racional. 
 
No regime de juros compostos, qualquer período pode ser utilizado como data focal sem que o 
resultado da avaliação se altere. 
 
 
Exemplos: 
 
1. Sejam os dois fluxos de caixa seguintes 
 
Mês VF1 Mês VF2 
1 864,00 2 816,48 
3 377,91 5 367,33 
7 428,46 8 740,37 
 
 
Para verificar se estes fluxos são equivalentes mediante o desconto racional composto a uma taxa 
igual a 8% am, na data focal zero, basta calcular o valor presente de cada um dos valores nominais 
apresentados, somando-os posteriormente. Se as somas forem iguais, os fluxos são equivalentes. 
 
Utilizando a fórmula do desconto racional, temos: 
 
 
VP = VF/(1+i)n 
 
 
VP1 = 864/(1+0,08)1 = 800,00 VP2 = 816,48/(1+0,08)2 = 700,00 
VP3 = 377,91/(1+0,08)3 = 300,00 VP5 = 367,33/(1+0,08)5 = 250,00 
VP7 = 428,46/(1+0,08)7 = 250,00 VP8 = 740,37/(1+0,08)8 = 400,00 
 
Soma dos VPs = 1350,00 Soma dos VPs = 1350,00 
 
Os fluxos são equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
2. Utilizando os mesmos dados do exercício anterior, refaça os cálculos considerando o período 3 
como data focal. 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
F1 864,00 377,91 428,46 
n n = 2 n = 0 n = 4 
 VF �  VP 
V P3 864(1,08)2 428,46/(1,08)4 
 1.007,77 377,91 314,93 
Soma 1.700,61 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
F2 816,48 367,33 740,37 
n n = 1 n = 2 n = 5 
 VF �  VP  VP 
V P3 816,5(1,08)1 367,33/(1,08)2 740,37/(1,08)5 
 881,80 314,93 503,88 
Soma 1.700,61 
 
Os fluxos continuam equivalentes, mesmo no período 3. Repare ainda que R$ 1.350 (exemplo 1), 
por 3 períodos, a 8%ap equivale a R$1.700,61 (exemplo 2). 
 
 
 38 
Exercícios – Desconto Composto e Equivalência de Capitais 
 
 
1. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000, a vencer em 3 meses. Qual o seu valor hoje, 
considerando uma taxa de juros de 1,5% am? 
 
 
 
 
 
2. Qual valor deverá ser aplicado hoje, a juros compostos e à taxa de 1% am para fazer frente a 
uma dívida de R$ 5.000, a ser paga em 2 meses, e outra de R$ 7.000, a ser paga em 5 meses? 
 
 
 
 
 
3. Uma dívida de R$ 80.000 vence daqui a cinco meses. Considerando uma taxa de juros de 
1,3%am, obtenha o seu valor atual nas seguintes datas: 
 
a) Hoje b) Em 2 meses c) Dois meses antes do vencimento 
 
 
 
 
 
4. Quanto devo aplicar hoje para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000 daqui a 2 meses, à 
taxa de: 
 
a) 1,5%am b) 1,6%am c) 2%am d) 3%am 
 
 
 
 
 
5. Considere as seguintes dívidas a pagar: 
a) R$ 60.000 em 2 meses 
b) R$ 70.000 em 3 meses 
c) R$ 80.000 em 4 meses 
 
Quanto deve ser aplicado hoje, a juros compostos com taxa de 2% am, para fazer frente a estes 
compromissos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39 
6. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes na data focal zero, 
mediante o emprego de uma taxa igual a 8%am. 
 
Período FC1 ($) Período FC2 ($) 
2 900,00 4 700,00 
3 480,00 7 600,00 
5 401,00 8 1038,27 
 
 
 
 
 
 
7. Estime o valor de X de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados nas tabelas seguintes 
equivalentes na data focal 6. Considere uma taxa de juros compostos de 18% ao período. 
 
Período FC1 ($) Período FC2 ($) 
0 420,00 3 960,00 
1 318,00 7 320,00 
4 526,00 9 X 
 
 
 
 
 40 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
1. Uma pessoa fez uma aplicação a prazo fixo de 2 anos. Decorrido o prazo, o montante que era de 
R$ 224.000,00 foi reaplicado por mais um ano, a uma taxa de juros igual a 115% da primeira. 
Sendo o montante final de R$ 275.520,00, e o regime de capitalização simples, calcule o capital 
inicialmente depositado, considerando a segunda parte da operação. 
Resposta: R$ 160.000,00 
 
n = 2 anos n = 1 ano i = (VF/VP-1)/n ; 1,15*i1 = (275.520/224000-1)/1 ; i1 = 20% aa 
VPa = ? VPb = 224.000 
VF = 224.000 VF = 275.520 i1 = 20% aa, logo, VPa = VF/(1+ i1*n) = 224.000/(1,4) = 160.000 
i = i1 i = 1,15*i1 
 
 
3. Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% aa, 25% de seu capital a 18% aa e o restante a 
12%aa, no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo 
que os juros acumulados no final de 2 anos foram iguais a R$ 14.100. 
Resposta: R$ 50.000 
 
VPa = 0,2C VPb = 0,25C VPc = 0,55C J1+J2+J3 = 14.100; como J = VP*i*n 
i = 15% aa i = 18% aa i = 12% aa 0,2C*0,15*2+0,25C*0,18*2+0,55C*0,12*2 = 14100 
n = 2 anos n = 2 anos n = 2 anos VPa+b+c = 50.000 
 
 
5. Dois capitais, o primeiro igual a R$ 1.100,00 e o segundo igual a R$ 500,00, estiveram 
aplicados a juros simples durante 3 meses. A que taxa foi aplicado o primeiro, se o segundo, 
aplicado à taxa de 10% am, rendeu R$ 246,00 menos que o primeiro? 
Resposta: 12% am 
 
VPa = 1100 VPb = 500 Ja = Jb+246 
n = 3 m n = 3m 1100*3*i = 500*3*0,1+246 
i = ? i = 10% am i = 0,12 = 12% am 
 
 
9. Uma pessoa, dispondo de R$ 3.000,00, resolve aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou 
uma parte a juros simples, à taxa de 8% am, por 6 meses, no segundo, aplicou o restante também a 
juros simples, por 8 meses, à taxa de 10% am. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que 
o total dos juros auferidos foi de R$ 1.824,00. 
Resposta: R$ 1.800 e R$ 1.200 
 
i = 8% am i = 10% am Ja + Jb = 1824 VPa + VPb = 3000 
n = 6 m n = 8 m VPa*0,08*6 + VPb*0,1*8 = 1824 VPb = 3000 – VPa 
VPa = ? VPb = ? 0,48*VPa + 0,8* (3000-VPa) = 1824 VPb = 3000 – 1800 = 1200 
 VPa = 1800 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
16. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 15.000,00 67 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% am. Obtenha o valor líquido recebido pela 
empresa, considerando que esta pagou, na data da operação, um imposto igual a 0,0041% ao dia 
(IOF), aplicado sobre o valor nominal do título. 
Resposta: R$ 13.786,30 
 
VF = 15000 VP = ? = VF (1-dn) - IOF 
n = 67 d = 67/30 m VP = 15.000(1-0,035*67/30) – 0,000041*67*15000 
dc = 3,5% am VP = 13.786,30 
IOF = 0,0041%*n*VF 
 
 
18. Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de 2 meses até o 
vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza 
uma taxa de desconto comercial de 2,5% am mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do 
titulo; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% am sem taxa de serviço. Qual 
banco a empresa deverá escolher? 
Resposta: Banco AA B VP = VF*(1-dn) 
n = 2m n = 2m VPa = VF*(1-dn) – 0,008VF = 0,942VF 
dc = 2,5% am dc = 3,1% am 
taxa = 0,8%*VF VF = VF VPb = VF*(1-dn) = 0,938VF 
VF = VF 
Banco A, pois apresenta maior valor presente na operação, para o mesmo valor nominal. 
 
 
20. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes, usando o desconto 
comercial simples. Considere a data focal zero e i = 4% ap. 
 
Fluxo 1 Fluxo 2 
T VF t VF 
3 100,00 1 200,00 
5 50,00 7 250,00 
7 200,00 8 150,00 
9 300,00 
Resposta: Não são equivalentes (VP = 464 e 474). 
 
3 – VP = 100(1-0,04x3) = 88 1 – VP = 200(1-0,04x1) = 192 
5 – VP = 50(1-0,04x5) = 40 7 – VP = 250(1-0,04x7) = 180 
7 – VP = 200(1-0,04x7) = 144 8 – VP = 150(1-0,04x8) = 102 
9 – VP = 300(1-0,04x9) = 192 
Soma 464 474 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
21. Uma empresa possui em seu contas a receber três notas promissórias com vencimentos 
previstos para daqui a dois, cinco e seis meses e com valores nominais respectivamente iguais a R$ 
500,00, R$ 400,00 e R$ 900,00. Uma instituição financeira propôs-se a comprar os 3 títulos, 
oferecendo R$ 300,00 hoje e mais certa importância daqui a três meses. Qual deve ser o valor a ser 
recebido daqui a 3 meses, de forma a tornar os fluxos equivalentes no regime de juros simples com 
uma taxa de juros simples igual a 4% am? 
Resposta: O valor a ser recebido deveria ser, no mínimo, R$ 1.368,76. 
 
2 – 500 0 – 300 VP2 + VP5 + VP6 = VP0 + VP3 
5 – 400 3 – X 500/(1+0,04*2)+400/(1+0,04*5)+900/(1+0,04*6)= 300+X/(1+0,04*3) 
6 – 900 X = 1.368,76 
 
 
24. Um empréstimo no valor de R$ 700,00 foi liquidado em uma única parcela igual a R$ 780,00. 
A taxa de juros compostos vigente para a operação foi igual a 4,25%am. Qual o prazo decorrido? 
Resposta: 2,5999 meses 
 
VP = 700 n = LN(VF/VP)/LN(1+i) = LN(780/700)/LN(1,0425) = 2,5999 
VF = 780 
i = 4,25% am 
n = ? 
 
 
28. Em juros compostos o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% aa ou à 
taxa de 2,1% am? 
Resposta: 2,1% am 
 
i = 26% aa i = 2,1% am VFa = VP(1+0,26) = 1,26VP 
n = 1 a n = 12 meses VFb = VP(1+0,021)12 = 1,283VP 
 
 
32. Uma empresa A possui um título de dívida com vencimento daqui a seis meses e de valor 
nominal igual a R$ 85.000,00. Uma empresa B propõe-lhe a troca por um titulo vencível daqui a 3 
meses, de valor igual a R$ 75.000,00. Sendo de 4% am a taxa de juros composta de mercado, 
verifique se a troca é vantajosa para a empresa A. 
Resposta: Sim 
 
n = 6m n = 3m VPa = ? VPb = ? 
VF = 85000 VF = 75000 VPa = 85000/(1+0,04)6 = 67.176,73 
i = 4% am i = 4% am VPb = 75000/(1+0,04)3 = 66.674,73 
 
Sim, a troca é vantajosa pois a dívida B é menor. 
 
35. O banco A cobra por um empréstimo de 45 dias a taxa de juros compostos de 25% aa. O banco 
B cobra pelo mesmo empréstimo e prazo a taxa de 21% aa, sendo os juros capitalizados 
trimestralmente. Qual a melhor alternativa para o tomador de empréstimo? 
Resposta: A oferecida pelo Banco B 
 
n = 45d = 45/360a n = 45d = 0,5t VFa = VP(1+0,25)0,125 = 1,0283VP 
i = 25% aa i = 21% aacct = 21/4%at VFb = VP(1+0,21/4)0,5 = 1,0259VP 
VPa = VP VPb = VP 
VFa = ? VFb = ? 
 43 
37. Uma pessoa aplicou R$ 40.000,00 (valor presente) em um CDB com prazo igual a 220 dias 
que teve as seguintes rentabilidades: durante os primeiros 108 dias, o CDB foi remunerado a uma 
taxa igual a 2,45% am, e no restante do tempo a remuneração atingiu 22,80%aa. Calcule a taxa de 
juros compostos mensal efetiva da aplicação. Considere o ano comercial. 
Resposta: 2,0809% am 
 
VPa = 40000 VFa = 40000(1+0,0245)108/30 VPb = VFa VFb = VFa(1,228)112/360 
n = 108d = 108/30m VFa = 43.641,84 n=112d=112/360a VFb = 46.521,49 
i = 2,45% am i = 22,8% aa 
VFa = ? VFb = ? 
 
Para taxa mensal efetiva: 
i = (VF/VP)1/n -1 = 46251,4930/220 –1 = 2,0809% am 
 
 
38. Uma aplicação em renda fixa por 200 dias apresentou a taxa de juros líquida, após dedução de 
impostos e tarifas, de 2,38% aos 30 dias. Se essa aplicação em renda fixa foi realizada com duas 
aplicações seguidas sendo que a primeira durante 84 dias apresentou a taxa de juros líquida de 
1,95% aos 30 dias, qual foi a taxa de juros líquida da segunda aplicação? 
Resposta: 2,6925%am 
 
A B C 
n = 200d = 200/30m n = 84d = 84/30m n = 116d = 116/30m 
i = 2,38% am i = 1,95%am i = ? 
(1+0,238)200/30 = (1+0,0195)84/30*(1+i)116/30 � i = 0,026925 = 2,6925%am 
 
 
42. Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20% aa, capitalizados 
trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, devem-se esperar quantos trimestres? 
Resposta: 14,2 trimestres 
 
VP = VP n = LN(VF/VP)/LN(1+i) = LN(2VP/VP)/LN(1+0,05) = LN(2)/LN(1,05) 
i = 20%aacct = 5%at 
VF = 2VP 
n = ? 
 
 
 44 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 1) 
 
Quando vimos equivalência de capitais, verificamos de que forma poderíamos levar um fluxo de 
capitais a qualquer data focal que escolhêssemos. O estudo de séries de pagamentos segue a 
mesma lógica. O preço a vista de um bem será o valor de todos fluxos financeiros trazidos a um 
valor presente, mediante uma determinada taxa de juros 
 
Ao estudo destes fluxos chamamos de Séries de pagamentos (ou anuidades, rendas, séries de 
capitais, etc). Séries de pagamentos são qualquer sucessão de pagamentos, finita ou infinita, que 
devem acontecer em datas preestabelecidas. 
 
As séries de pagamentos possuem diversas classificações, conforme suas características. A 
principal, para o início do estudo das séries, é relativa ao grau de confiança e conhecimento que se 
tem com relação aos fluxos. Com esta abordagem, as séries podem ser classificadas como: 
 
• Séries Determinísticas (ou Certas) – Estudadas pela Matemática Financeira, trata de fluxos 
certos, conhecidos e preestabelecidos. 
 
• Séries Probabilísticas (ou Aleatórias) – Estudadas pela Matemática Atuarial, trata de fluxos 
incertos e não serão estudadas neste curso. 
 
As Séries Determinísticas, objeto de nosso estudo, podem ser divididas conforme diversos 
critérios: 
 
1º Critério – Número de prestações 
 
• Finitas (Temporárias) – ocorrem em um período predeterminado de tempo, possuindo início e 
fim. 
• Infinitas (Perpétuas) – ocorrem de forma ad eternum, ou seja, os pagamentos e recebimentos 
duram infinitamente. 
 
2º Critério – Periodicidade de pagamentos 
 
• Periódicas – os pagamentos e recebimentos ocorrem a intervalos constantes. 
• Não periódicas – os pagamentos e recebimentos ocorrem em intervalos irregulares de tempo. 
 
3º Critério – Valor das prestações 
 
• Uniformes (Constantes) – os pagamentos e recebimentos possuem valores iguais. 
• Não uniformes (Variáveis) – os pagamentos e recebimentos apresentam valores distintos. 
 
4º Critério – Primeiro Pagamento 
 
• Diferidas (com Carência) – prazo maior que um período para a realização do primeiro 
pagamento. 
• Não diferidas (Imediatas) – o primeiro pagamento ocorre em prazo não maior que um período 
à partir da data do início da operação. 
 
 
 
 
 45 
5º Critério – Prazo dos Pagamentos 
 
• Postecipadas – os pagamentos ocorrem ao final dos períodos. 
• Antecipadas – os pagamentos ocorrem ao início dos períodos. 
 
 
Para o desenvolvimento das relações principais, utilizaremos a dinâmica da capitalização composta 
aplicada às Séries Finitas, Periódicas, Uniformes, Não diferidas e Postecipadas 
 
Exemplo: 
 
Um computador, com valor de R$ 1000 reais a vista, pode ser vendido em 4 pagamentos mensais 
iguais, no valor de R$ 265,00 cada, sendo que a primeira parcela vence no período seguinte à 
realização da compra. 
 
1000 
 
 
 
 
 265 265 265 265 
 
i = 2,37% apO fluxo pode ser representado, conforme vimos anteriormente em equivalência de capitais 
compostos, da seguinte forma: 
 
1000 = 265/(1+0,0237)1+265/(1+0,0237)2+265/(1+0,0237)3+265/(1+0,0237)4 
 
Ou seja, utilizando as variáveis já conhecidas, podemos dizer que: 
 
VP = VF/(1+i)1+ VF/(1+i)2+ VF/(1+i)3+… +VF/(1+i)n 
 
Como estamos falando em pagamentos uniformes, o VF em todos os períodos será o mesmo. 
Chamando o VF de pagamento (PMT), podemos dizer que: 
 
VP = PMT/(1+i)1+ PMT/(1+i)2+ PMT/(1+i)3+… +PMT/(1+i)n 
 
Logo: 
 
VP = PMT*[ 1/(1+i)1+ 1/(1+i)2+ 1/(1+i)3+… +1/(1+i)n] 
 
Analisando somente a parte final da equação acima: 
 
[ 1/(1+i)1+ 1/(1+i)2+ 1/(1+i)3+… +1/(1+i)n] 
 
Vemos uma PG (Progressão Geométrica) com primeiro termo a = 1/(1+i), de razão q = 1/(1+i). 
Para PGs com razão diferente de 1, temos que a soma dos n primeiros termos é dada por: 
 
Sn = a1(qn-1)/(q-1) 
 
 
 46 
No nosso caso: 
 
Sn = {1/(1+i)[1/(1+i)n-1]}/[1/(1+i)-1] = 
 
 = [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] 
 
A este resultado chamamos de fator de valor atual, que é representado por an\i (a, n, cantoneira i). 
Existem tabelas financeiras que fornecem o valor do fator de valor atual, conforme o n e o i em 
questão. 
 
Logo, voltando à etapa anterior: 
 
VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] , ou VP = R* an\i 
 
Esta é a fórmula principal do estudo de rendas, e é utilizada para a solução de problemas de séries 
de pagamentos em grande parte dos critérios anteriormente mencionados. 
 
Partindo da equação anterior, se quisermos isolar o PMT teremos: 
 
PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] 
 
 
Para calcularmos o valor futuro de uma série de pagamentos, utilizaremos a fórmula do cálculo do 
VP em juros compostos: 
 
VP = VF / (1+i)n 
 
Juntando esta fórmula à do VP em séries de pagamento, temos que: 
 
VF/(1+i)n = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] 
 
Logo: 
 
VF = PMT * [(1+i)n-1]/i 
 
Isolando o PMT: 
 
PMT = VF * i/[(1+i)n-1] 
 
 
Exemplos: 
 
1. Um equipamento é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00, 
vencendo o primeiro um mês após a compra. Se o vendedor opera a uma taxa de juros de 5% am, 
qual o seu preço a vista? 
 
n = 4 meses VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] 
PMT = R$ 550 VP = 550 * [(1,05)4-1]/ [(1,05)4*0,05] 
i = 5% am VP = R$ 1.950,27 
 
 47 
2. Um equipamento é vendido a vista por R$ 30.000,00, mas pode ser vendido em 12 prestações 
mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do 
financiamento é de 2%am, obtenha o valor de cada prestação. 
 
n = 12 meses PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] 
VP = R$ 300.000 PMT = 30.000 * [(1,02)12*0,02]/ [(1,02)12-1] 
i = 2% am PMT = R$ 2.836,79 
 
3. Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a 
primeira dada como entrada. Qual o preço do terreno a vista, se a taxa do financiamento for 4% 
am? 
 
VP = ? 
 
 
 
 
150k 150k 150k 150k 
 
n = 3 meses VP = VP0 + PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] 
PMT = R$ 150k VP = 150.000 + 150.000 * [(1,04)3-1]/ [(1,04)3*0,04] 
i = 4% am VP = R$ 566.263,65 
 
4. Um investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as 
aplicações à taxa de juros de 2% am. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual será o montante no 
instante do último depósito? 
 
n = 7 meses VF = PMT * [(1+i)n-1]/i 
PMT = R$ 2.000 VF = 2.000 * [(1,02)7-1]/ 0,02 
i = 2% am VF = R$ 14.868,57 
 
5. Quanto você deve começar a investir mensalmente para que, ao se aposentar, tenha R$ 
2.000.000,00, considerando uma rentabilidade mensal de 1% am e que faltam 25 anos exatos para 
a sua aposentadoria? 
 
n = 25 anos = 300 meses PMT = VF * i / [(1+i)n-1] 
VF = 2.000.000 PMT = 2.000.000 * 0,01 / (1,01)300-1 
i = 1% am PMT = R$ 1.064,48 
 
 
 48 
Exercícios – Séries de Pagamentos (Parte 1) 
 
 
1. Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% am, sendo o número de 
prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês 
após a compra. 
 
 
 
 
 
2. Um carro é vendido a vista por R$ 40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais e iguais, sem 
entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% am? 
 
 
 
 
 
3. Um eletrodoméstico é vendido com uma entrada de R$ 70,00 e mais 5 prestações mensais de R$ 
80,00 cada. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% am, qual o preço a vista? 
 
 
 
 
 
4. Uma motocicleta é vendida em 5 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo a primeira 
dada como entrada. Qual o preço a vista se a taxa de juros do financiamento for de 4,5% am? 
 
 
 
 
 
5. Um apartamento, cujo preço a vista é de R$ 100.000,00, é vendido a prazo com 30% de entrada 
e o saldo em 100 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação, considerando uma 
taxa de juros de 1% am? 
 
 
 
 
 
 
6. O aluguel mensal de um apartamento é R$ 2.000,00. Se o locatário quiser quitar 
antecipadamente o aluguel dos 6 primeiros meses, qual o valor a ser pago, se a taxa de juros for de 
2,3% am? 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
7. Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, R$ 3.500,00 em um fundo que remunera 
seus depósitos à taxa de 2,1% am. Qual o montante no instante do último depósito? 
 
 
 
 
 
8. No exercício anterior, qual o montante três meses após ser efetivado o último depósito? 
 
 
 
 
 
9. Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de 
investimentos que rende 1,8%am, para que, no instante do último depósito, tenha um montante de 
R$ 60.000,00? 
 
 
 
 
 
 
10. Para o dono de uma loja, qual é a melhor alternativa: financiar uma mercadoria cujo preço a 
vista é R$ 1.200 em 10 prestações mensais e iguais de R$ 143,00, ou vender a vista e aplicar em 
um fundo que rende uma taxa mensal constante e tal que o montante após 10 meses seja R$ 
1.652,00? Suponha que os valores recebidos das prestações da venda a prazo também sejam 
aplicados no referido fundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 50 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 2) 
 
Conforme concluímos anteriormente, as fórmulas para o estudo das séries de pagamentos finitas, 
periódicas, uniformes, não diferidas e postecipadas são: 
 
VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] 
PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] 
VF = PMT * [(1+i)n-1]/i 
PMT = VF * i/[(1+i)n-1] 
 
Estas mesmas fórmulas podem ser utilizadas em situações diferentes, conforme os critérios de 
classificação das séries de pagamentos. A lógica utilizada para o desenvolvimento destas fórmulas 
se aplica a todas as possíveis situações. 
 
Séries Diferidas e Não Diferidas 
 
Vimos, até o momento, apenas séries não diferidas, ou seja, aquelas que não tem carência, aquelas 
cujo primeiro pagamento ocorre no período seguinte à data do início da operação. 
 
No entanto, em muitas operações (sobretudo em operações de financiamento), é normal que se 
conceda ao tomador do empréstimo um período de carência, em que o financiamento não é pago, 
apesar da incidência de juros. 
 
Para a solução de problemas envolvendo séries diferidas, deve-se tratá-los como problemas de 
séries não diferidas, trazendo o fluxo ao valor na data focal imediatamente anterior ao início dos 
pagamentos e, em seguida, trazer o valor encontrado ao valor presente. 
 
Exemplo: 
 
Um terreno é vendido a prazo em seis prestações mensais iguais a R$ 9.286,91, vencendo a 
primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% am, qual o valor 
a vista do terreno? 
 
VP = ? 
 
 
 
 
 V2 PMTPMT PMT PMT PMT PMT 
 
Para calcularmos o valor presente do terreno, calculamos o valor de V2, com a fórmula da série de 
pagamentos vista anteriormente: 
 
V2 = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] = 9.286,91 * [(1,02)6-1]/[(1,02)6*0,02] = 52.019,98 
 
Com base no valor do fluxo no período 2, podemos facilmente calcular o seu valor no período 0, 
com a fórmula de juros compostos: 
 
VP = VF/(1+i)n = 52.019,98 / (1,02)2 = 50.000,00 
 
 
 51 
Com o exemplo anterior, podemos deduzir uma fórmula geral para o cálculo de séries diferidas. 
Chamando o período de carência de m, e o período total, incluída a carência de n, temos: 
 
VP = {PMT * [(1+i)n-m-1]/[(1+i)n-m*i]} / (1+i)m 
 
Esta fórmula nos permite encontrar, ainda, o valor dos pagamentos. 
 
 
Séries Periódicas e Não periódicas 
 
Normalmente encontramos apenas as séries periódicas nas situações cotidianas. As séries não 
periódicas, ou seja, aquelas que não ocorrem a intervalos regulares de tempo, apesar de mais 
incomuns, possuem solução semelhante às vistas em equivalência de capitais. 
 
Exemplo: 
 
Um equipamento é vendido em 3 parcelas de R$ 200,00, a primeira a ser paga 10 dias após a 
compra, a segunda, 5 dias após a primeira parcela, e a terceira, 20 dias após a segunda parcela. 
Qual o valor a vista do equipamento, considerando uma taxa de juros de 2% am? 
 
VP = ? 
 
 10d 15d 35d 
 
 
 200 200 200 
 
VP = VFa/(1+i)na + VFb/(1+i)nb + VFc/(1+i)nc 
 
VFa = VFb = VFc = 200 
i = 2%am 
na = 10d = 10/30 m 
nb = 15d = 15/30 m 
nc = 35d = 35/30 m 
 
VP = 200/(1,02)10/30 + 200/(1,02)15/30 + 200/(1,02)35/30 = 198,68 + 198,02 + 195,43 = 592,13 
 
 
Séries Uniformes e Não uniformes 
 
Ao analisarmos as séries de pagamentos, é muito comum encontrarmos séries em que os termos 
não são iguais, seja devido a pagamentos extraordinários ao longo do financiamento (como na 
aquisição de imóveis, por exemplo), seja devido a um prazo diferente entre algumas das parcelas. 
 
A solução destas situações é sempre dividir o fluxo em fluxos menores e uniformes, na medida do 
possível. Uma vez divididos os fluxos, basta levar todos os termos a valor presente ou futuro, 
assim como foi feito para as séries diferidas e para as não uniformes. 
 
 
 
 
 
 
 52 
Exemplos: 
 
1. Qual o valor presente do fluxo de pagamentos abaixo? 
 
 
 
 200 300 200 200 350 200 350 300 
O fluxo pode ser dividido em dois, de fácil resolução: 
Fluxo 1: 
 
 
 200 200 200 200 200 200 200 200 
 
Fluxo 2: 
 
 
 0 100 0 0 150 0 150 100 
 
E o resultado será o valor presente do fluxo 1 somado ao do fluxo 2. 
 
2. Qual o valor presente do fluxo de pagamentos abaixo? 
 
 
 
 200 200 200 0 200 200 200 200 
 
O fluxo pode ser dividido em dois, de fácil resolução: 
Fluxo 1: 
 
 
 200 200 200 
 
Fluxo 2: 
 
 
 200 200 200 200 
 
Assim como no primeiro exemplo, o resultado será o valor presente do fluxo 1 somado ao do fluxo 
2. 
 
 
 
 
 53 
Exercícios – Séries de Pagamentos (Parte 2) 
 
 
1. Calcule o valor presente dos fluxos de caixa a seguir, supondo uma taxa de 
12% a.a: 
a) 
 15.000 20.000 20.000 20.000 20.000 25.000 25.000 25.000 
 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos 
 
 
 
 
 
 
b) 
 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 6.000 7.000 8.000 
 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos 
 
 
 
 
 
 
2. A Financeira Brasil S.A concede um financiamento ao Sr. João Ribeiro para aquisição de um 
trator, a ser liquidado num prazo de 24 meses, nas seguintes condições: 12 prestações iguais de $ 
20.000,00, sendo as 6 primeiras pagas mensalmente a partir do final do 7o mês até o final do 12o 
mês, e as 6 últimas pagas mensalmente a partir do final do 19o mês até o final do 24o mês. 
Considerando uma taxa de juros de 4% a.m, calcule o valor financiado. 
 
 
 
 
3. Um carro é vendido, a juros de 1% a.m, com os pagamentos efetuados da seguinte maneira: $ 
5.000,00 de entrada e $ 4.000,00 a 1 mês, $ 6.000,00 a 2 meses, $ 1.000,00 a 3 meses e $ 3.000,00 
a 4 meses da data da compra. Qual é o valor do carro à vista? 
 
 
 
 
4. Uma empresa consegue um empréstimo de $ 30.000,00 para ser liquidado da seguinte maneira: 
20% do empréstimo no final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais iguais vencíveis a 
partir do 4o mês. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 3,4% a.m, determine o valor 
dos pagamentos. 
 
 
 
 
 
 
 54 
5. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais e iguais de $ 400,00 com uma carência de 16 
meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de pagamentos, se a 
taxa considerada for de 2% a.m.? 
 
VP = 400[(1,02)16-1/(1,02)16*0,02]/(1,02)15 
VP = 4.035,37 
 
 
 
 
 55 
UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 3) 
 
Séries Antecipadas e Postecipadas 
 
Algumas operações são realizadas considerando o momento do pagamento como sendo o início do 
período, e não o final, como é mais comum. Estas situações são tratadas como as operações com 
entrada, vistas anteriormente: 
 
VP = PMT + PMT[(1+i)n-1-1/(1+i)n-1*i] 
 
Exemplo: 
 
Uma loja anuncia a venda de um equipamento por R$ 600,00 a vista ou em nove vezes, sendo a 
primeira paga no ato da compra. Sabendo que a taxa cobrada pela loja é de 4,8598% am, qual o 
valor de cada pagamento? 
 
PMT = ? 600 = PMT + PMT [(1,048598)8-1/(1,048598)8*0.048598] 
i = 4,8598% am PMT = 80,00 
n = 9 
VP = 600 
 
 
Séries Finitas e Infinitas 
 
Conforme visto anteriormente, as séries infinitas são aquelas que ocorrem de forma ad eternum, 
cujos pagamentos ou recebimentos duram infinitamente, como, por exemplo, o fluxo de caixa de 
uma empresa, uma vez na maturidade, ou mesmo um plano de aposentadoria, como os de 
previdências privadas. 
 
O fluxo de caixa de uma série infinita é: 
 
 
 
 
 PMT PMT PMT PMT ... PMT 
 
 
E o seu valor presente pode ser descrito como: 
 
VP = PMT/(1+i)1 + PMT/(1+i)2 + PMT/(1+i)3 + PMT/(1+i)4 + … + PMT/(1+i)n 
 
A expressão acima pode ser lida como uma progressão geométrica infinita, cujo primeiro termo é 
a1 = PMT/(1+i) com razão q = 1/(1+i). 
 
A soma de termos infinitos em uma PG é dada por S = a1/(1-q), o que em nosso caso representa: 
 
VP = [PMT/(1+i)]/[1-1/(1+i)] = [PMT/(1+i)] / [i/(1+i)] = PMT/i 
 
Uma aplicação financeira decorrente da fórmula anterior é a das perpetuidades com um 
crescimento constante. Imagine o fluxo de caixa de uma empresa em sua maturidade – ele pode ser 
 56 
perpetuado, mas é razoável que se considere algum crescimento, mesmo que apenas vegetativo. 
Para tratar estas situações, a fórmula é: 
 
VP = PMT1/(i-g) 
 
Em que VP é o valor presente no período 0, PMT1 é o pagamento no primeiro período da 
perpetuidade e g é a taxa de crescimento do fluxo de caixa. 
 
Exemplos: 
 
1. Quanto deve ser aplicado hoje, a uma taxa de 0,5% am, para ter uma renda perpétua mensal de 
R$ 8.000,00, considerando a retirada um mês após a primeira aplicação. 
 
VP = PMT/i = 8.000/0,005 = 1.600.000 
 
 
2. Qual o valor presente de uma empresa cujo fluxo de caixa na perpetuidade é de R$ 100.000,00 
ao período, com um custo de capital de 4%ap e uma taxa de crescimento de 1% ap? 
 
VP = PMT/(i-g) = 100.000/(0,04-0,01) = 3.333.333,34 
 
 
Tabelas Financeiras