Calcular o valor de "n" para que seja de 30° o ângulo formado entre as retas: r{x=t y+5+n.t z=-2+2t e s: x-2/4= y+4/5 =z/3

vetor paralelo a r: u = (4, 5, 3).
Escrevendo s na forma paramétrica:  x = t, y = 5 + nt, z = -2 + 2t ==> vetor paralelo v = (1, n, 2).
Calculando os módulos:
| u | = (4² + 5² + 3²)^1/2 = 50^1/2 = Ö50 e | v | = (1² + n² + 2²)^1/2 = (n² + 5)^1/2.
Calculando o produto escalar: u . v = 4.1 + 5.n + 3.2 = 10 + 5n.
Como u . v = | u | . | v |. cos q,    10 + 5n =  Ö50.(n² + 5)^1/2.Ö3/2.
Elevando os dois termos da igualdade ao quadrado:
100 + 100n + 25n² = 50.(n² + 5).3/4 Þ 400 + 400n + 100n² = 150n² + 750 Þ 50n² – 400n + 350 = 0 Þ
Þ n² – 8n + 7 = 0 Þ raízes n = 7 e n = 1.

Temos o vetor paralelo a r:
u = (4, 5, 3).
S:  x = t, y = 5 + nt, z = -2 + 2t  Portanto,
v = (1, n, 2) (vetor paralelo)
Calculando
Módulo:
| u | = (42 + 52 + 32)1/2 = 501/2 = Ö50 e | v | = (12 + n2 + 22)1/2 = (n2 + 5)1/2.
Calculando o produto escalar: u . v = 4.1 + 5.n + 3.2 = 10 + 5n.
Como u . v = | u | . | v |. cos q,    10 + 5n =  Ö50.(n2 + 5)1/2.Ö3/2.
Elevando ao quadrado:
100 + 100n + 25n2 = 50.(n2 + 5).3/4 Þ 400 + 400n + 100n2 = 150n2 + 750 Þ 50n2 – 400n + 350 = 0 Þ
Þ n2 – 8n + 7 = 0 Þ
Resposta final: raízes n = 7 e n = 1.