Para provar que as recíprocas \( Q1 \Rightarrow P1 \) e \( Q2 \Rightarrow P2 \) são verdadeiras, vamos analisar as informações dadas passo a passo. 1. Premissas: - Temos duas propriedades \( P1 \) e \( P2 \) que esgotam todos os casos possíveis no conjunto universo \( U \). Isso significa que para qualquer elemento \( x \in U \), ou \( P1(x) \) é verdadeiro ou \( P2(x) \) é verdadeiro. - As propriedades \( Q1 \) e \( Q2 \) são incompatíveis, ou seja, se um elemento tem \( Q1 \), não pode ter \( Q2 \) e vice-versa. - Temos as implicações \( P1 \Rightarrow Q1 \) e \( P2 \Rightarrow Q2 \). 2. Prova da recíproca \( Q1 \Rightarrow P1 \): - Suponha que \( Q1(x) \) é verdadeiro para algum \( x \in U \). - Como \( Q1 \) e \( Q2 \) são incompatíveis, \( Q2(x) \) deve ser falso. - Como \( P1 \) e \( P2 \) esgotam todos os casos, se \( P2(x) \) fosse verdadeiro, então \( Q2(x) \) também seria verdadeiro (por \( P2 \Rightarrow Q2 \)), o que é uma contradição. - Portanto, \( P2(x) \) deve ser falso, o que implica que \( P1(x) \) deve ser verdadeiro. - Assim, concluímos que \( Q1 \Rightarrow P1 \). 3. Prova da recíproca \( Q2 \Rightarrow P2 \): - Suponha que \( Q2(x) \) é verdadeiro para algum \( x \in U \). - Novamente, como \( Q1 \) e \( Q2 \) são incompatíveis, \( Q1(x) \) deve ser falso. - Se \( P1(x) \) fosse verdadeiro, então \( Q1(x) \) também seria verdadeiro (por \( P1 \Rightarrow Q1 \)), o que é uma contradição. - Portanto, \( P1(x) \) deve ser falso, o que implica que \( P2(x) \) deve ser verdadeiro. - Assim, concluímos que \( Q2 \Rightarrow P2 \). 4. Conclusão: - Portanto, provamos que \( Q1 \Rightarrow P1 \) e \( Q2 \Rightarrow P2 \) são verdadeiras, conforme solicitado. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!