Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x, y) = x^3 - y^a + 6xy \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualá-las a zero. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 6y \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -a y^{a-1} + 6x \] Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos. Igualando \( f_x = 0 \): \[ 3x^2 + 6y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x^2 \] Igualando \( f_y = 0 \): \[ -a y^{a-1} + 6x = 0 \implies 6x = a y^{a-1} \] Substituindo \( y = -\frac{1}{2}x^2 \) na equação de \( f_y \): \[ 6x = a \left(-\frac{1}{2}x^2\right)^{a-1} \] Agora, precisamos verificar os pontos dados nas alternativas: - (0, 0): - \( f_x(0, 0) = 0 \) e \( f_y(0, 0) = 0 \) → ponto crítico. - (1, -1): - \( f_x(1, -1) = 3(1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 \) → não é ponto crítico. - (2, -2): - \( f_x(2, -2) = 3(2)^2 + 6(-2) = 12 - 12 = 0 \) e \( f_y(2, -2) = -a(-2)^{a-1} + 12 = 0 \) → depende do valor de \( a \), mas não podemos afirmar que é um ponto crítico sem mais informações. Agora, analisando as alternativas: A. ( ) Apenas em (0, 0). → Correto, pois é um ponto crítico. B. ( ) Apenas em (1, -1). → Incorreto, não é ponto crítico. C. ( ) Apenas em (2, -2) e (1, -1). → Incorreto, pois (1, -1) não é ponto crítico. D. ( ) Apenas em (0, 0), (1, -1) e (2, -2). → Incorreto, pois (1, -1) não é ponto crítico. E. ( ) Apenas em (0, 0) e (2, -2). → Incorreto, pois não temos certeza sobre (2, -2) ser um ponto crítico sem mais informações. Portanto, a alternativa correta é: A. ( ) Apenas em (0, 0).