Leia o extrato de texto a seguir: '[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd'.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy:
A 0
B 2
C 4
D 8
E 16

Question

Leia o extrato de texto a seguir: '[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente inte...

Ed · Answer

Para resolver a integral repetida $\int_0^2 \int_0^2 y z \, dz \, dy$, vamos calcular passo a passo.

1. **Calcular a integral interna**: $\int_0^2 y z \, dz$
   - Aqui, $y$ é tratado como uma constante.
   - A integral de $y z$ em relação a $z$ é $\frac{y z^2}{2}$.
   - Avaliando de $0$ a $2$:
     $$
     \left[ \frac{y z^2}{2} \right]_0^2 = \frac{y (2^2)}{2} - \frac{y (0^2)}{2} = \frac{4y}{2} = 2y
     $$

2. **Calcular a integral externa**: $\int_0^2 2y \, dy$
   - A integral de $2y$ em relação a $y$ é $y^2$.
   - Avaliando de $0$ a $2$:
     $$
     \left[ y^2 \right]_0^2 = 2^2 - 0^2 = 4
     $$

Portanto, o valor da integral repetida $\int_0^2 \int_0^2 y z \, dz \, dy$ é $4$.

A alternativa correta é: **C 4**.

Cálculo Diferencial

prova calculo diferencial e integral II

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