Leia o texto a seguir: 'Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dx'.
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo fechado [0,2]:
A 2√5u.c.
B 3√5u.c.
C 4√u.c.
D 5√8u.c.
E 6√u.c.

Question

Leia o texto a seguir: 'Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, ...

Ed · Answer

Para calcular o comprimento do arco da curva dada pela função $ f(x) = 2x - 8 $ no intervalo fechado $[0, 2]$, precisamos seguir os passos da fórmula mencionada:

1. **Encontrar a derivada da função**:
   $$
   f'(x) = 2
   $$

2. **Substituir na fórmula do comprimento do arco**:
   A fórmula é:
   $$
   C = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx
   $$
   Substituindo $ f'(x) $:
   $$
   C = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + (2)^2} \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4} \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{5} \, dx
   $$

3. **Calcular a integral**:
   $$
   C = \sqrt{5} \int_{0}^{2} 1 \, dx = \sqrt{5} [x]_{0}^{2} = \sqrt{5} (2 - 0) = 2\sqrt{5}
   $$

Portanto, o comprimento do arco da curva no intervalo $[0, 2]$ é $ 2\sqrt{5} $ unidades de comprimento.

A alternativa correta é: **A) 2√5 u.c.**

Cálculo Diferencial

prova calculo diferencial e integral II

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