prova calculo diferencial e integral II

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Nota: 100 
Disciplina(s): 
Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o extrato de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial 
e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral 
repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
0 
 
B 
 
2 
 
C 
 
4 
Você assinalou essa alternativa (C) 
Você acertou! 
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02yzdzdy=∫02y[∫02zdz]dy=∫02y[z22]02dy=∫02y[222−022]dy=∫02y2dy=2∫02ydy=2y22|02=2[222−022]=2⋅2=4 
 
(livro-base, p. 43-47). 
 
D 
 
8 
 
E 
 
16 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma 
sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números 
também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, 
decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de 
formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um 
número natural diferente de zero: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
an=2n 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... 
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); 
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos 
números pares. 
javascript:void(0)
 
(livro-base, p. 101). 
 
B 
 
an=2n+1 
 
C 
 
an=n+1 
 
D 
 
an=2n-1 
 
E 
 
an=n-1 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor x i é a derivada de f em relação a xi 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das 
derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
javascript:void(0)
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as derivadas parciais 
de f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z são: 
 
fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo xx. 
fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo yy. 
fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo zz. 
 
(livro-base, p. 80). 
 
B 
 
fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 
 
C 
 
fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 
 
D 
 
fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 
 
E 
 
fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia o fragmento de texto a seguir: 
 
"A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a 
xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
 
Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que 
corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, temos: 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
(Livro-base, p. 80). 
 
B 
 
∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. 
 
C 
 
∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. 
 
D 
 
∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. 
 
E 
 
∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia o texto a seguir: 
 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível 
determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula 
utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral 
a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que 
apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo 
fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
2√5u.c.25u.c. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: 
 
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. 
 
 
(Livro-base, p. 21-24). 
 
B 
 
3√5u.c.35u.c. 
 
C 
 
4√u.c.4u.c. 
 
D 
 
5√8u.c.58u.c. 
 
E 
 
6√u.c.6u.c. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
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2x0,5x 
 
Leia o texto a seguir: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é 
representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses 
três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral 
a várias variáveis, identifiquea alternativa correta que apresenta o custo da 
fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: 
 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
120 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
 
(livro-base, p. 75-76). 
 
B 
 
150 
 
C 
 
180 
 
D 
 
200 
 
E 
 
220 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores 
de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por 
(x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f)Im(f) expressa por 
f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76. 
 
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial 
e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa 
correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0 
javascript:void(0)
 
A 
 
132132 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos: 
 
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. 
 
(Livro-base, p.76). 
 
B 
 
145145 
 
C 
 
133133 
 
D 
 
115115 
 
E 
 
154154 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de 
calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de 
integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na 
quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade 
posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes 
de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial 
javascript:void(0)
e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da 
integral repetida ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
9494 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21=32[222−122]=32⋅32=94∫12∫12xydydx=∫12x[∫12ydy]dx=∫12x[y22]12dx=∫12x[222−122]dx=∫12x32dx=32∫12xdx=32x22|12=32[222−122]=32⋅32=94 
 
(Livro-base p. 43-47). 
 
B 
 
1212 
 
C 
 
7474 
 
D 
 
3434 
 
E 
 
7272 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o trecho de texto a seguir: 
 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular 
∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em 
relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão 
desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. 
E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma 
variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
javascript:void(0)
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial 
e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da 
integral repetida ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11dydx é: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
2 
 
B 
 
1 
 
C 
 
zero 
 
D 
 
4 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então, 
∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11dydx=∫−11[y]−11dx=∫−11[1−(−1)]dx=∫−112dx=2∫−11dx=2[y]−11=2[1−(−1)]=4 
(Livro-base p. 43-47). 
 
E 
 
10 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 Ler em voz alta 
2x0,5x 
 
Leia o texto a seguir: 
 
Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente 
integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) 
em relação a xx. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
javascript:void(0)
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral 
de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. 
 
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: 
Nota: 10.0 
 
A 
 
1212 
 
B 
 
3232 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. 
 
(livro-base, p. 54-59). 
 
C 
 
5252 
 
D 
 
7272 
 
E 
 
9292