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Um experimento foi conduzido para testar H0: μA = μB contra a alternativa H1: μA ≠ μB, sendo μA e μB as médias de duas populações infinitas, independentes e normalmente distribuídas. Amostras de tamanho nA = nB = 5 são extraídas das respectivas populações e as médias e variâncias calculadas para permitir a realização do teste. Considerando que as variâncias das populações sejam desconhecidas e iguais, a estatística do teste e sua distribuição de amostragem, respectivamente, são
(A) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição N(0,1)
(B) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição t de Student
(C) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição t de Student com nA + nB - 2 graus de liberdade
(D) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição N(0,1)
(E) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição t de Hotelling, com 1 e (nA + nB - 2) graus de liberdade
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Desafios Para o Conhecimento

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Para resolver essa questão, precisamos considerar que estamos testando a hipótese de igualdade entre duas médias de populações independentes, onde as variâncias são desconhecidas, mas assumimos que são iguais. Nesse caso, utilizamos a estatística do teste t de Student. A fórmula para a estatística do teste é: \[ t = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{S_p \cdot \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}}} \] onde \(S_p\) é a estimativa da variância combinada das duas amostras. Como estamos lidando com duas amostras de tamanho \(n_A = n_B = 5\), os graus de liberdade para o teste t serão \(n_A + n_B - 2 = 5 + 5 - 2 = 8\). Agora, analisando as alternativas: (A) A distribuição é N(0,1) - Incorreto, pois estamos usando a distribuição t. (B) A distribuição é t de Student - Correto, mas não menciona os graus de liberdade. (C) A distribuição é t de Student com \(n_A + n_B - 2\) graus de liberdade - Correto, pois menciona os graus de liberdade corretamente. (D) A distribuição é N(0,1) - Incorreto, pela mesma razão da alternativa (A). (E) A distribuição é t de Hotelling - Incorreto, pois não estamos usando essa distribuição. Portanto, a alternativa correta é: (C) (X̄A - X̄B) / (S_p * √(1/nA + 1/nB)), com distribuição t de Student com nA + nB - 2 graus de liberdade.

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Na sequência 15, 28, 43, 56, 71, 84, ..., o próximo número é
(A) 89
(B) 90
(C) 91
(D) 99
(E) 109

Seja X uma variável aleatória discreta com função geradora de momentos dada por M(t) = exp(2t) * exp(-t), sendo t um número real. O valor esperado e a variância de X, respectivamente, são
(A) 0 e 1/4
(B) 0 e 1/2
(C) 1/2 e 1/2
(D) 1/2 e 0
(E) 1/4 e 1/2

Seleciona-se aleatoriamente uma amostra de tamanho 100 de uma população uniforme [u - k; u + k]. Utilizando-se a desigualdade de Chebyshev para determinar, em função de k, o limite superior de Pr(|X - u| > 0,1), encontra-se
(A) k^2
(B) k
(C) k^2/3
(D) 1/k
(E) 300/k^2

Em uma grande empresa, 70% dos funcionários são do sexo masculino, e a distribuição das idades, de ambos os sexos, é normal com desvio padrão de 4 anos. Para o sexo masculino, a média é de 36 anos e, para o sexo feminino, a média é menor, 33 anos.
Selecionou-se aleatoriamente uma ficha com dados cadastrais de um funcionário. Essa ficha não estava completamente preenchida, mas pôde-se observar que a idade do funcionário era superior a 40 anos. A probabilidade de ter sido selecionado um funcionário do sexo masculino é, aproximadamente,
(A) 0,16
(B) 0,45
(C) 0,67
(D) 0,80
(E) 0,90

Em uma grande empresa, 70% dos funcionários são do sexo masculino, e a distribuição das idades, de ambos os sexos, é normal com desvio padrão de 4 anos. Para o sexo masculino, a média é de 36 anos e, para o sexo feminino, a média é menor, 33 anos.
Selecionaram-se duas amostras independentes de tamanho 32 da população dos funcionários do sexo masculino e do sexo feminino. A probabilidade de que a média amostral do sexo masculino seja maior do que a do sexo feminino é
(A) 0,9987
(B) 0,8413
(C) 0,7734
(D) 0,1587
(E) 0,0013

Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída, de tamanho n, extraída de uma população, cuja característica estudada, X, possui distribuição de probabilidade FX(x,θ), sendo FX(x,θ) = 1 - e^(-x/θ), x > 0, θ > 0. Uma amostra aleatória de tamanho n = 5 foi selecionada, e os valores obtidos foram (8, 9, 11, 5, 6). As estimativas para o parâmetro θ, utilizando o método da máxima verossimilhança e o método dos momentos, respectivamente, são
(A) 39/5 e 39/5
(B) 39/5 e 39
(C) 39 e 39
(D) 11 e 5
(E) 11 e 39/5

A respeito de métodos de cálculo de confiabilidade de um teste, considere as afirmativas abaixo.
I - Uma possível forma de se calcular a confiabilidade do teste é por meio de 2 2 1XX X ��� � � , onde XX� representa a confiabilidade do teste, 2 �� a variância dos erros de medida e 2 X� a variância dos escores observados dos alunos.
II - Se dividirmos o teste em dois subtestes, um com os itens pares, e o outro com os itens ímpares, e calcularmos a correlação entre os escores obtidos pelos alunos nos dois subtestes, pi� , então a confiabilidade do teste pode ser calculada por meio de 2 1 pi XX pi � � � � � , onde pi� é a correlação entre os escores nos dois subtestes, e XX� a confiabilidade do teste.
III - Se a mesma população de alunos for submetida a um outro teste, Y, equivalente ao anterior, X, então a confiabilidade do teste X pode ser obtida pela correlação entre os escores nos dois testes.
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) III, apenas.
(D) I e II, apenas.
(E) I, II e III.

Sejam X1,X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Uniforme (0,� ). Deseja-se testar 0 0 1 0 : : H H � � � � � � . Para isto, construiu-se a seguinte regra de decisão: Não rejeite H0 se � � 0 0, n nX ! � �" � � , sendo X(n) o máximo da amostra. Se 0 0 n ! � � �# # , determine a probabilidade do erro do tipo I que é definido como a probabilidade de rejeitar H0 sendo H0 verdadeira.
(A) � � 1 1 1 n ! � � � � � �
(B) 1 !�
(C) !
(D) 1 n ! � � � � � �
(E) � � 1 1 n ! � � � � � �

Experimentos com mensurações repetidas são desenhos nos quais as mesmas unidades amostrais são avaliadas mais de uma vez nos mesmos fatores.
A principal vantagem desse desenho sobre os experimentos fatoriais é
(A) propiciar maior poder do teste.
(B) garantir maior validade interna.
(C) minimizar a probabilidade de se rejeitar Ho, quando verdadeira.
(D) permitir o controle dos erros devidos à omissão de fatores com maior precisão.
(E) controlar melhor os erros de respostas devidos à fadiga das unidades amostrais.

Um experimento balanceado e completo do tipo 3x4x5 foi delineado para avaliar os possíveis efeitos (principais e interações) fixos dos fatores A, B e C sobre uma variável numérica Y.
Para a realização dos testes dos efeitos, o número de graus de liberdade dos resíduos será
(A) 60
(B) 72
(C) 180
(D) 239
(E) 240

Um exame é composto por dois testes: proficiência verbal (V) e proficiência numérica (N). A confiabilidade do teste V é de 0,90 com base em uma amostra de 110 candidatos recém-formados por uma escola de nível médio, enquanto a confiabilidade do teste N é de 0,85 com base na mesma amostra.
Nesse contexto, afirma-se que
(A) a confiabilidade da diferença dos escores (V-N) dos candidatos nesses testes é alta, isto é, superior a 0,80.
(B) a confiabilidade da diferença dos escores (V-N) dos candidatos nesses testes é baixa, isto é, inferior a 0,40.
(C) um candidato que tenha obtido 74 pontos em V e 65, em N, tem a diferença dos escores devida ao acaso, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério.
(D) um candidato que tenha obtido 50 pontos em V e 37, em N, tem a diferença dos escores devida ao acaso, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério.
(E) se um candidato obteve 67 pontos em V e 75, em N, sua proficiência numérica é maior do que a verbal, considerando duas unidades de erro padrão de medida como critério.

Considere a seguinte sequência de comandos escritos em linguagem R: > x <- c(0, 1, 2) > y <- c(-1, 0, 1) > v <- t(x)%*%y. O valor da variável v, após a execução desta sequência de comandos, é
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

A figura abaixo mostra o resumo de uma regressão realizada no Excel por meio do suplemento Análise de Dados – Regressão.
Deseja-se calcular na célula F3 o valor predito pelo modelo linear, quando a variável explicativa X1 é igual a 10. A fórmula que deve ser escrita na célula F3, para fazer o cálculo desejado, é
(A) =B18*E3+B17
(B) =D17*10+E17
(C) =10*88,58
(D) =D18*10+D13
(E) =E3*6+7

Dentre as variáveis numéricas apresentadas a seguir, qual NÃO está mensurada em uma escala de razão?
(A) Altura, em centímetros.
(B) Peso, em gramas.
(C) Gasolina, em litros.
(D) Salário, em reais.
(E) Temperatura, em graus Celsius.

Uma pesquisa tem por objetivo avaliar a qualidade do combustível vendido em determinado município, utilizando, para isto, uma amostra de tanques de combustível, seguindo os seguintes passos: 1 - a partir de uma listagem (cadastro) de todos os postos revendedores do município, selecionam-se de forma aleatória 50 postos; 2 - avaliam-se todos os tanques de combustível de cada um dos 50 postos selecionados no passo 1.
A amostragem descrita acima é
(A) aleatória simples.
(B) estratificada.
(C) sistemática.
(D) por cotas.
(E) de conglomerados.

O preço médio do barril de petróleo em 2009 era 40% superior ao de 2008, 30% inferior ao de 2007 e 25% superior ao de 2010. Considerando 2008 como ano base, os preços relativos do barril de petróleo em 2007 e 2010, respectivamente, são
(A) 170 e 105
(B) 182 e 105
(C) 182 e 175
(D) 200 e 105
(E) 200 e 112

Uma unidade fracionadora de líquido de gás natural que hoje está funcionando perfeitamente pode, amanhã, apresentar uma pequena avaria (que a permita continuar operando), com probabilidade 0,3, ou quebrar completamente, sem possibilidade de conserto, com probabilidade 0,2. Por outro lado, se a unidade apresenta hoje uma pequena avaria, a probabilidade de que amanhã ela esteja totalmente quebrada é 0,7. Suponha que o processo estocástico que descreve o estado da unidade (perfeita, levemente avariada ou completamente quebrada) seja uma cadeia de Markov homogênea.
Se a unidade está perfeita em determinado dia, a probabilidade de que ela esteja completamente quebrada dois dias depois é
(A) 0,10
(B) 0,21
(C) 0,24
(D) 0,31
(E) 0,51

Após um número suficientemente grande de transições de estado, esta cadeia convergirá, ou seja, os percentuais de consumidores que preferem cada posto passarão a ser constantes. A preferência pelos postos X e Y após a convergência serão, em termos percentuais, respectivamente
(A) 33,33 e 66,67
(B) 45 e 55
(C) 50 e 50
(D) 55 e 45
(E) 66,67 e 33,33

Uma empresa realiza uma busca por petróleo em determinada região. Uma perfuração é bem-sucedida, ou seja, leva a um poço de petróleo com probabilidade 0,2. Neste caso, a empresa analisa se o poço encontrado é ou não economicamente viável. A probabilidade de que um poço encontrado seja economicamente viável é 0,5. Se uma perfuração é bem-sucedida e viável, a empresa explora aquele poço e encerra sua atividade naquela região. Por outro lado, se uma perfuração não é bem-sucedida, ou se é bem-sucedida mas inviável, a empresa tenta uma outra perfuração, até encontrar um poço economicamente viável.
O número esperado de perfurações necessárias até encontrar um poço economicamente viável é
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 10
(E) 20

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