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Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6.
II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla.
A As asserções I e II são falsas.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
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Avaliação I - Individual (Cálculo Diferencial e Integral III - Uniasselvi)
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Avaliação I - Individual (Cálculo Diferencial e Integral III - Uniasselvi)

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há 4 meses

Vamos analisar as asserções: I. Podemos determinar a área delimitada pela região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6. Para determinar a área entre as curvas \(y = 2x^2\) e \(y = 6x\), precisamos encontrar os pontos de interseção. Igualando as duas funções: \[ 2x^2 = 6x \] \[ 2x^2 - 6x = 0 \] \[ 2x(x - 3) = 0 \] Os pontos de interseção são \(x = 0\) e \(x = 3\). A área pode ser calculada pela integral: \[ \text{Área} = \int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx \] Calculando essa integral: \[ \int (6x - 2x^2) \, dx = 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \] Avalia-se de 0 a 3: \[ \left[ 3(3^2) - \frac{2}{3}(3^3) \right] - \left[ 3(0^2) - \frac{2}{3}(0^3) \right] = \left[ 27 - 18 \right] = 9 \] Portanto, a asserção I é falsa, pois a área não é 6, mas sim 9. II. Considerando \(f(x, y) = 1\), a área da região D pode ser determinada pela integral dupla. Isso é verdadeiro, pois a integral dupla de \(f(x, y) = 1\) sobre a região D realmente fornece a área da região. Agora, analisando as opções: A) As asserções I e II são falsas. (FALSO, pois a II é verdadeira) B) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. (FALSO, pois a I é falsa) C) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. (VERDADEIRO) D) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. (FALSO, pois a I é falsa) E) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. (FALSO, pois a I é falsa) Portanto, a alternativa correta é: C) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

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Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
É correto o que se afirma em:
I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular.
II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração.
III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos.
IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.
A II e III, apenas.
B III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.

Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma certa função f:
É correto o que se afirma em:
I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior.
II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π.
III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r.
IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior.
A I e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I, II e IV, apenas.
D III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.

Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa:
Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa:
A 184 g.
B 198 g.
C 144 g.
D 167 g.
E 123 g.

Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
É correto o que se afirma em:
I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior.
IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.
A II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E III e IV, apenas.

Considere a região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, sobre essa região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir:
É correto o que se afirma em:
I. A região D possui área igual a 5/2.
II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e aplicando f(x, y) = 1.
III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de separar a integral em duas partes.
IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5.
A I, II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C II e III, apenas.
D II, III e IV, apenas.
E III e IV, apenas.

A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo o cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.
II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração possui simetria axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar significativamente a resolução das integrais triplas.
Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
B As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e comprimento radial.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
D As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
E Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.

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