Por favor caso de vida ou morte qual a primitiva (integral) de 1/(2x+1)^2 ??????

Sabemos que ∫1/(2x+1)² dx= ∫(2x+1)-² dx

Por substituição, considere u=2x+1 ⇒ du=2 dx. Note que:

∫(2x+1)-² dx

=½∫(2x+1)-² 2dx 

=½∫u-² du

=½ (-u-¹)+C 

=-½(2x+1)-¹+C

Espero ter ajudado...

Para resolver a integral \(\int\frac{1}{(2x+1)^2}dx\) podemos utilizar a regra da substituição.

Assim

sendo u =2x+1

Temos \(du=2dx\)

\(dx=\frac{du}{2}\)

Substituindo

\(\int\frac{1}{(2x+1)^2}dx\)

\(\int\frac{1}{u^2}\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2}du=\frac{1}{2}\int{u^{-2}}du\)

Aplicando a regra de potência \(\int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\)

\(\frac{1}{2}\int{u^{-2}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-2+1}}{-2+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-1}}{-1}\)

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}\)

Substituindo u =2x+1

\(-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2.(2x+1)}\)

Assim:

\(\boxed{\int\frac{1}{(2x+1)^2}dx=-\frac{1}{2.(2x+1)}+C}\)