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Analisando a equação do segundo grau x^2-2x+1=0 e determinando suas raízes, como as mesmas podem ser classificadas?
A ( ) Uma raiz real e uma raiz complexa.
B ( ) Uma única raiz real.
C ( ) Duas raízes complexas.
D ( ) Duas raízes reais e distintas.

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Para analisar a equação do segundo grau \(x^2 - 2x + 1 = 0\), podemos usar a fórmula do discriminante \(D\), que é dada por: \[ D = b^2 - 4ac \] onde \(a = 1\), \(b = -2\) e \(c = 1\). Calculando o discriminante: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 \] \[ D = 4 - 4 \] \[ D = 0 \] Quando o discriminante \(D\) é igual a zero, isso indica que a equação possui uma única raiz real (ou seja, uma raiz dupla). Agora, analisando as alternativas: A ( ) Uma raiz real e uma raiz complexa. - Incorreto, pois não há raízes complexas. B ( ) Uma única raiz real. - Correto, pois temos uma raiz dupla. C ( ) Duas raízes complexas. - Incorreto, pois não há raízes complexas. D ( ) Duas raízes reais e distintas. - Incorreto, pois as raízes não são distintas. Portanto, a alternativa correta é: B ( ) Uma única raiz real.

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Neste contexto, considere a EDO dada por y'=-y+x definida no intervalo [0; 1,2] tal que y(0)=1,5. Tomando h=0,3, a equação de iteração é:
I) y_k=1,3 y_{k-1}-0,3 x_{k-1}
II) y_k=-1,3 y_{k-1}+0,3 x_{k-1}
III) y_k=-0,7 y_{k-1}-0,3 x_{k-1}
IV) y_k=0,7 y_{k-1}+0,3 x_{k-1}

A Somente a opção I está correta.

Para que uma equação do segundo grau apresente como raízes apenas números complexos, o discriminante deve ser negativo. Dada a equação x^2-2x+t=0, para quais valores de t a equação tem como raízes apenas números complexos?
A t>1
B t<1
C t>2
D t>4

Essa regra é um método direto, que utiliza cálculo de determinantes para encontrar a solução de um sistema de equações lineares. Qual a denominação desse método?
A Cramer.
B Gauss.
C Lins.
D Jordan.

Com relação à integração numérica, o método 1/3 de Simpson Generalizado consiste em aplicar o método de Simpson tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos o valor da função f. Consideremos então o intervalo [1,5], e vamos aplicar este método para a função f, supondo n=4. Se utilizarmos 4 casas decimais nos cálculos, o valor encontrado para a integral numérica de f(x)=ln(x) será:
A O valor encontrado para a integral será 4,0414.
B O valor encontrado para a integral será 6,2832.
C O valor encontrado para a integral será 4,8746.
D O valor encontrado para a integral será 6,1248.

Existem vários métodos que determinam as raízes de uma função, dentre elas alguns necessitam de pelo menos um ponto suficientemente máximo para iniciar o processo de resolução. No entanto, o método do Algoritmo Quociente-Diferença não necessita desta informação. Com base nesse método, analise as sentenças a seguir:
I- Podemos aplicá-lo desde que conheçamos um ponto próximo da raiz.
II- Este método permite encontrarmos todas as raízes de um polinômio simultaneamente.
III- Podemos aplicá-lo para qualquer tipo do polinômio.
IV- Este método permite encontrarmos inclusive raízes complexas.

Sobre a solução numérica (usando o método de Runge-Kutta) para o problema de valor inicial a seguir, analise as opções e assinale a alternativa CORRETA:
i) y_0=1, y_1=1,5, y_2=2, y_3=2,5 e y_4=3
ii) y_0=1, y_1=2, y_2=3,875, y_3=6,9219 e y_4=11,8731
iii) y_0=1, y_1=2,375, y_2=4,9219, y_3=9,3731 e y_4=16,9188
iv) y_0=1, y_1=3,5, y_2=6,3125, y_3=10,8829 e y_4=18,3097

Sobre Equações Diferenciais Ordinárias, analise as sentenças a seguir:
I- Para uma mesma equação diferencial, existem várias soluções possíveis.
II- Chamamos de Problema de Valor Inicial (PVI) a equação diferencial da qual conhecemos o seu valor inicial.
III- O Teorema de Existência e Unicidade (TEU) garante que todas as equações diferenciais apresentam uma única solução.
IV- Os Problemas de Valor Inicial (PVI) sempre têm solução, ao contrário dos Problemas de Valor de Contorno (PVC).

Dado o sistema de equações não lineares:
4x^2+4y^2=8
4x^2-y^2=4

Assinale a alternativa CORRETA:
A O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com referência às raízes de ambas as funções.
B As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
C As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
D No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor.

Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve observar que:
A as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
B o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.
C a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional.
D o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.

Esse sistema de equações é:
A impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
B possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
C possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
D possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.