Para calcular o gradiente do campo escalar \(f(x, y, z) = x^{2} + x y^{3} + y z\), precisamos encontrar as derivadas parciais de \(f\) em relação a \(x\), \(y\) e \(z\). 1. Derivada parcial em relação a \(x\): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y^{3} \] 2. Derivada parcial em relação a \(y\): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3xy^{2} + z \] 3. Derivada parcial em relação a \(z\): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = y \] Assim, o gradiente \(\nabla f\) é dado por: \[ \nabla f = \left(2x + y^{3}\right) \vec{i} + \left(3xy^{2} + z\right) \vec{j} + y \vec{k} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \((2 x z) \vec{i}+\left(3 x y^{2}\right) \vec{j}+y \vec{k}\) - Incorreto. B) \(\left(2 x+y^{3}\right) \vec{i}+\left(3 x y^{2}\right) \vec{j}+y \vec{k}\) - Incorreto, falta o \(z\) na parte do \(j\). C) \(\left(2 x+y^{3}\right) \vec{i}+y z \vec{j}+y \vec{k}\) - Incorreto, a parte do \(j\) está errada. D) \(\left(2 x+y^{3}\right) \vec{i}+\left(3 x y^{2}+z\right) \vec{j}+y \vec{k}\) - Correto, pois inclui todas as partes corretamente. Portanto, a alternativa correta é a D.