Calcular o plano tangente à superfície \(z=\sqrt{x \cdot y}\) no ponto \(P(2 ; 2 ; 2)\) A) \(z + x + y = 0\) B) \(2z = x + y\)

Para encontrar o plano tangente à superfície \(z = \sqrt{x \cdot y}\) no ponto \(P(2, 2, 2)\), precisamos calcular a derivada parcial da função em relação a \(x\) e \(y\) e, em seguida, usar a fórmula do plano tangente. 1. A função é \(z = \sqrt{x \cdot y}\). 2. Calculamos as derivadas parciais: - \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y\) - \(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x\) 3. Avaliamos as derivadas no ponto \(P(2, 2)\): - \(\frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(2, 2)} = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 2}} \cdot 2 = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 = \frac{1}{2}\) - \(\frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(2, 2)} = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 2}} \cdot 2 = \frac{1}{2}\) 4. A equação do plano tangente é dada por: \[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(y - y_0) \] Substituindo \(z_0 = 2\), \(x_0 = 2\), \(y_0 = 2\), \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2}\): \[ z - 2 = \frac{1}{2}(x - 2) + \frac{1}{2}(y - 2) \] Simplificando: \[ z - 2 = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{1}{2}y - 1 \] \[ z = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \] Multiplicando tudo por 2 para simplificar: \[ 2z = x + y \] Portanto, a alternativa correta é: B) \(2z = x + y\).