Para calcular o gradiente do campo escalar \(f(x, y, z) = 3x^2 + 4yz\), precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais em relação a \(x\), \(y\) e \(z\). 1. Derivada parcial em relação a \(x\): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 6x \] 2. Derivada parcial em relação a \(y\): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4z \] 3. Derivada parcial em relação a \(z\): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = 4y \] Agora, calculamos o gradiente \(\nabla f\): \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (6x, 4z, 4y) \] Substituindo o ponto \(P(1, 2, 3)\): \[ \nabla f(1, 2, 3) = (6 \cdot 1, 4 \cdot 3, 4 \cdot 2) = (6, 12, 8) \] Agora, precisamos calcular a direção do vetor \(\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}\). Para isso, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor \(\vec{v}\): \[ \nabla f \cdot \vec{v} = (6, 12, 8) \cdot (2, 1, 2) = 6 \cdot 2 + 12 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = 12 + 12 + 16 = 40 \] Portanto, o resultado do cálculo do gradiente na direção do vetor \(\vec{v}\) é 40. No entanto, como as opções apresentadas não incluem esse valor, parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. Se precisar de mais ajuda, você terá que criar uma nova pergunta.