Para calcular o plano tangente à superfície \(z = \sqrt{x \cdot y}\) no ponto \(P(2, 2, 2)\), precisamos encontrar a derivada parcial da função em relação a \(x\) e \(y\) e, em seguida, usar a fórmula do plano tangente. 1. Encontrar as derivadas parciais: - A função é \(z = \sqrt{x \cdot y}\). - A derivada parcial em relação a \(x\) é: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y = \frac{y}{2\sqrt{xy}} \] - A derivada parcial em relação a \(y\) é: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{2\sqrt{xy}} \] 2. Avaliar as derivadas no ponto \(P(2, 2)\): - \(\frac{\partial z}{\partial x}\) em \(P(2, 2)\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2}{2\sqrt{2 \cdot 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] - \(\frac{\partial z}{\partial y}\) em \(P(2, 2)\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{2\sqrt{2 \cdot 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 3. Usar a fórmula do plano tangente: A equação do plano tangente é dada por: \[ z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(y - y_0) \] Substituindo \(z_0 = 2\), \(x_0 = 2\), \(y_0 = 2\), \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2}\): \[ z - 2 = \frac{1}{2}(x - 2) + \frac{1}{2}(y - 2) \] Simplificando: \[ z - 2 = \frac{1}{2}x - 1 + \frac{1}{2}y - 1 \] \[ z = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + 2 \] 4. Rearranjando a equação: Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração: \[ 2z = x + y + 4 \] Ou seja, podemos reescrever como: \[ 2z - x - y = 4 \] Agora, analisando as alternativas: A) \(z + x + y = 0\) - Incorreto. B) \(2z = x + y\) - Incorreto. C) \(z = 2x + 2y\) - Incorreto. D) \(3z = x + y + 6\) - Incorreto. Nenhuma das alternativas parece estar correta com base no cálculo realizado. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.